Автор: Лекс Кравецкий

«Противоположности» противоположны не абсолютно, а относительно некоторой точки — «точки симметрии». Если взять другую точку, то «противоположности» относительно другой точки уже не будут таковыми относительно этой. А какие-то другие вещи, не исключено, ими станут.

Однако всегда можно спросить: а почему именно так? Нет ли способа попроще? Ну, как в разговорном языке: большой — маленький, белый — чёрный, толстый — худой? Зачем огород городить?

Собственно, огород приходится городить потому, что разговорный язык допускает вольности и множественные трактовки высказываний, а в точном языке, подобном формальной логике или математике, трактовка должна быть всегда одна — иначе результаты рассуждений на этом языке будут столь же размыты, как на разговорном, а истинность каждого выведенного из предпосылок суждения будет весьма сомнительной. А то и просто не будет истинностью.

И сейчас я покажу, где в этом огороде зарыты грабли. Много граблей.

Но для начала надо бы отметить, что граблей там много. Кроме ассоциаций из разговорного языка, есть ещё, как минимум, неудачно выбранные термины, встречающиеся в старых учебниках и статьях по логике. Да и в новых тоже иногда встречающиеся.

Так, например, возьмём учебник по логике Виноградова, 1954 года издания.

В нём для взаимоотношений пары суждений вводятся два термина: «противоречивость» и «противоположность».

Смысл этих терминов в том, что и «противоречащие», и «противоположные» суждения не могут быть одновременно истинными. Однако «противоречащие» суждения, в отличие от «противоположных», вдобавок ещё и не могут быть одновременно ложными.

Правда, вот это вот «вдобавок», там сформулировано весьма невнятно: «противоречащие» и «противоположные» явления в учебнике считаются разными группами, а не первое — подгруппой второго. А потому возникает ощущение, будто бы «противоречивые суждения» не относятся к «противоположным».

Не факт, что автор считал именно так, однако так вполне может показаться читателю.

Ну да ладно, судя по определению, «противоречащими суждениями» всегда являются суждение и его логическое отрицание. И только они.

Что, впрочем, подтверждается множеством примеров из самого учебника:

1. Натрий легче воды.
2. Натрий не легче воды.

Второе суждение — логическое отрицание первого. Они действительно не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными.

1. Все ученики нашего класса решили заданные на дом задачи по алгебре.
2. Некоторые ученики нашего класса не решили заданные на дом задачи по алгебре.

Второе суждение — логическое отрицание первого.

Ну и так далее.

С другой стороны, «противоположные» в данной терминологии суждения не являются логическими отрицаниями друг друга.

Это что-то вроде (снова примеры из книги):

1. Эта бумага белая;
2. Эта бумага чёрная.

Бумага, правда, не может быть чёрной и белой одновременно. Однако если бумага не белая, это не означает, что она — чёрная. Она может быть, например, синей.

Это кажется интуитивно верным, но, к сожалению, тут мы уже незаметно перешли от формальной логики к бытовым понятиям и разговорному языку.

Дело в том, что это наш бытовой опыт говорит нам, что бумага бывает разных цветов. Однако в формальной логике нельзя использовать бытовой опыт: нужны соответствующие посылки. Некая формальная фиксация «правил игры».

А потому без посылки «бумага бывает всех цветов», невозможно сказать, следует или не следует из того, что бумага не белая, то, что она — чёрная. Ведь если ввести посылку «бывает только белая или чёрная бумага», то уже-таки будет следовать.

Это может показаться «оторванным от реальности», однако формальная логика, она не про реальность, она про взаимоотношения между суждениями. И каждый её вывод звучит не как «в реальности верно утверждение Икс», а как «если верны предпосылки — утверждения А, Б, Ц и т. д., — то в этом случае верно и утверждение Икс тоже».

Причём в реальности примеры полезности такого подхода сплошь и рядом прослеживаются. Да, сейчас мы знаем, что бумага бывает разных цветов, но мало ли, в какой-то средневековой стране умели делать только белую и чёрную. Или в каком-то офисе есть только белая и чёрная. Рассуждения для таких случаев — с соответствующей предпосылкой — будут отличаться от рассуждений «для всего современного мира» с аналогичной предпосылкой, соответствующей ему. Хотя остальные предпосылки вполне могут остаться теми же. Однако выводы уже поменяются.

Такую неопределённость с бумагой можно было бы списать на «всего лишь пример». Однако за ним на самом деле стоит закономерность: бытовые понятия и языковые ассоциации чисто машинально переносятся на логику. И это происходит довольно часто. Даже прошаренный в логике может на каком-то этапе рассуждений машинально воспользоваться некоторым суждением только лишь потому, что «это же всем известно». Хотя данного суждения не было в системе базовых утверждений — предпосылок, и от его добавления туда все выводы сразу же приобретут необходимую добавку «если верно вот это вот суждение»: его нельзя просто на каком-то этапе использовать, а потом забыть.

Ну да ладно, предположим, это правда был только пример, и на самом деле автор на бытовые суждения не перешёл.

Есть ещё пример:

1. Все ученики в нашей группе — отличники;
2. Ни один ученик в нашей группе не отличник.

Эти суждения тоже не могут быть одновременно истинными, но вполне могут быть одновременно ложными: ведь возможно, что в группе есть и отличники и не отличники.

А теперь, внимание, происходит фокус.

Такие вот суждения — «противоположные». Этому термину дано чёткое определение, всё отлично. Однако читатель совершенно машинально начинает думать, будто бы рассматриваемые в двух противоположных суждениях множества (ну там, «белые объекты» и «чёрные объекты») тоже являются «противоположностями».

Хотя из определения термина это вообще никак не следует.

Вообще Виноградов «противоположности» не риторически упоминает единственный раз и в этот же раз даёт им совершенно гениальное определение:

ОТНОШЕНИЕ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ. В отношении противоположности находятся такие два понятия, которые по своему содержанию противоположны друг другу, но оба входят в объём одного и того же родового понятия.

Например: «чёрный цвет» и «белый цвет» (общий их род — «цвет»). Другие примеры: «храбрость» и «трусость», «подъём» и «спуск».

«В отношение противоположности входит то, что противоположно по своему содержанию». Фактически, это определение термина через него же самого. Ну как так вообще можно-то — в учебнике-то про логику?

Вполне понятно, что тут автор просто машинально соскочил с формального на разговорный язык: типа, в разговорном языке люди же знают, что такое «противоположны друг другу», и вот через это бытовое знание мы и введём новый термин, блин, точной науки.

Впрочем, введённым термином, как говорилось выше, он сам больше не пользуется.

Однако для читателя, который только ещё знакомится с логикой, а потому, скорее всего, не имеет хорошо структурированного мышления, эта штука подкрепляет более раннюю догадку: «в противоположных суждениях речь всегда идёт о противоположностях».

Хотя нет, это не так. Не вообще во вселенском абсолюте, а даже прямо в этом учебнике. Из данных в нём определений это никак не следует. И довольно легко привести вышеозначенной догадке контрпример (чем — по правилам логики — опровергнуть утверждение о всеобщности).

Пусть мы тут опираемся на «бытовой смысл» слова «противоположны», Ok. Опросим множество первых попавшихся носителей языка, опросим лингвистов, опросим писателей: являются ли слова «большой» и «гигантский» — противоположностями? Подавляющее большинство ответит: «нет». Вот «большой» и «маленький» — да, но «большой» и «гигантский» не антонимы, а явно лежат по одну сторону баррикад: они как бы просто сравнительные степени одного и того же — большого размера.

Если мы введём три группы — «маленькие предметы», «большие предметы» и «гигантские предметы», — задав для каждой группы непересекающиеся диапазоны размеров, то утверждения:

1. Вон тот грузовик — большой;
2. Вон тот грузовик — гигантский;

будут подходить под определение «противоположных суждений», ровно так же, как под них бы подошли «большой» и «маленький».

Однако, согласно нашему гипотетическому мини-исследованию разговорного языка, «большой» и «гигантский» не противоположности.

То есть не все противоположные суждения — суждения о противоположностях. Терминология просто загнала читателя в языковую ловушку.

Впрочем, можно было бы не ходить так далеко за примером, ведь есть ещё более простой:

1. Этот предмет — голубой;
2. Этот предмет — синий.

Много ли людей сочтут голубой цвет «противоположностью» синего? Думаю, примерно ноль. Однако под определение «противоположных суждений» данные два вполне подходят.

Быть может, это у нас такое хитрое определение термина «противоположности» — не соответствующее разговорному языку. Да, это странно, что автор почему-то ссылался на разговорный язык, когда давал определение, а оно ему после этого не соответствует, но быть может? Быть может, «Противоположности» — это то, о чём речь идёт в «противоположных суждениях».

Дальше он предлагает упражнение

Укажите противоположные понятия для следующих понятий: «пролетариат», «суша», «свет», «северный полюс», «война», «свобода», «шум», «приход», «красивый».

Ok, если наше предположение о несоответствии разговорному языку верно, и «противоположности» — это просто то, о чём идёт речь в «противоположных суждениях», то для «Северного полюса» противоположностью будет «Камчатка», для «войны» — «дискотека», для «шума» — «симфония Бетховена», для «пролетариата» — «рабы».

Да-да, мы понимаем, на какие именно «противоположные понятия» намекал автор. Однако суждения:

1. Я сейчас на Северном полюсе;
2. Я сейчас на Камчатке;

подходят под определения «противоположных». А потому, если верно то, что в противоположных суждениях всегда идёт речь о противоположностях, то «Камчатка» и «Северный полюс» — противоположности. А также «война» и «дискотека» или «пролетариат» и «рабы».

Предполагаемые вами «Южный полюс», «мир», «тишина» и «буржуазия» тоже являются понятиями, «противоположными» означенным, но, как легко видеть, далеко не только они.

Вообще говоря, «противоположностью множества А» при таком определении оказывается вообще любое множество (и любой его элемент), не пересекающееся с А и не дополняющее его до полного множества.

Вдобавок «не-противоположностью» пролетариата — оказывается «не-пролетариат»: ведь это множество, «не-пролетариат», как раз дополняет «пролетариат» до полного множества, а таковые суждения следует называть «противоречащими».

И «небелый» — не «противоположность» для «белого».

Как вам такая интуитивно понятная терминология? «Небелый» — не противоположность «белого», а вот «синий» — противоположность?

И это ещё только начало сей прекрасной песни. Вернёмся снова к группировке по размерам.

«Маленький» — это противоположность «большого»? Ok, предположим. А «маленький» и «гигантский»? Видимо, тоже противоположны.

Берём «большие объекты», их противоположность — «маленькие». Перемещаемся туда. Теперь то же самое проделываем для «маленьких». Куда мы попадём? В «большие»? А почему не в «гигантские»? Операция ведь не может «запоминать», что там было в начале, чтобы приводить нас именно к нему.

Если и «большие» и «гигантские» объекты — противоположность «маленьких», то мы не можем взять для «маленьких» в качестве «противоположных» только «большие» или только «гигантские». Операция не однозначна: она ведёт сразу в две эти группы. Поэтому её результатом должно быть логическое объединение этих групп.

Противоположность «маленьких объектов», таким образом, — объединение множеств «больших объектов» или «гигантских объектов».

Но почему «большие» и «гигантские» не противоположны? Исключительно потому, что в нашем разговорном языке вот такие ассоциации? Если мы выберем другое слово для ровно той же группы, введённой по тому же критерию, то они тут же станут «противоположными»? Нет, научные и логические выводы не могут зависеть просто от того слова, которым что-то называется.

Так нельзя: подходят под определение — противоположны, значит. А как называются, без разницы.

Однако по вышеприведённому рассуждению, ввиду того, что от бытового языка логическое понятие зависеть не может, противоположность «больших объектов» — объединение множеств «маленькие объекты» и «гигантские объекты».

«Противоположностью» множества оказалось логическое объединение множеств, лежащих на шкале размера по обе стороны от этого множества. Как вам такая «интуитивная понятность»?

Но подождите, это ещё не всё.

Если первый объект противоположен второму, то второй, видимо, должен быть противоположен первому. Выбранное нами определение говорит, что — да, так и есть.

Теперь вопрос: если два объекта «противоположны», то должно ли двойное применение операции «взять лежащее напротив» вернуть нас в исходную точку?

Противоположность первого объекта — второй, второго — первый. Тогда противоположность противоположности первого объекта — первый объект, нет?

Однако, внимание, «маленькие объекты» противоположность «больших объектов». Но, как мы выяснили, не только они — ещё и «гигантские объекты». Поэтому вышеприведённая закономерность не выполняется: из «больших объектов», взяв их противоположность, мы можем перейти в «маленькие», а взяв противоположность «маленьких» — в «гигантские». Операция не взаимно однозначна: её двойное применение может не вернуть нас в исходную точку.

Интуитивно понятно, да?

Но теперь самая крышесносящая особенность такой «противоположности», опирающаяся на различие «противоречащих» и «противоположных» множеств. Её понять несколько тяжелее, чем всё предыдущее, но, если её всё-таки понять, то восторг гарантирован.

Смотрите. В нашем примере объединение множеств «маленькие объекты», «большие объекты» и «гигантские объекты» составляет полное множество — мы ведь больше никаких множеств не ввели, а потому любой рассматриваемый нами объект обязательно должен попадать в одно из трёх.

«Большие объекты» и «гигантские объекты» — противоположности «маленьких объектов». То есть любая пара суждений:

Объект А — маленький;

Объект А — большой;

и:

Объект А — маленький;
Объект А — гигантский;

будет парой противоположных суждений.

Однако пара суждений:

Объект А — маленький;
Объект А — большой или гигантский;

уже не будет парой противоположных суждений, поскольку эти суждения дополняют друг друга до полного множества и должны считаться «противоречащими».

Из чего следует, что объединение множеств «большой» и «гигантский» не является противоположностью множества «маленький».

Каждое из множеств является, а их объединение — нет.

А мы чуть выше выяснили, что да. Определения терминов у нас, оказывается, не только контринтуитивны до глубокого цинизма, но ещё и внутренне противоречивы.

Правда, зашибись?

У множества А, скажем, 10 других противоположных множеств. Мы берём и объединяем какие-то два. Всё путём, их объединение — всё ещё противоположность множества А. Добавляем к ним третье — противоположность. Четвёртое — противоположность. И так до девяти. Но как только добавили десятое — бабах, не противоположность.

Если теперь взять объект из какого-то множества, отличного от А, то он будет противоположен любому объекту из множества А.

Однако если точно тот же объект посчитать принадлежащим к объединению всех множеств, отличных от А (это ведь действительно так: такое множество включает в себя каждое, его составляющее), то он не противоположен объектам из множества А.

Это ли не прекрасно? Один и тот же объект является и не является противоположностью другого объекта. И не по разным своим свойствам или в разные моменты времени, а по одному и тому же в один и тот же момент времени. Это ли не настоящая, хардкорная диалектика?

Иными словами, данные таким образом определения приводят минимум к двум противоречиям и — в довесок — к яростной неинтуитивности своих значений.

Собственно, именно поэтому, если понятие «противоположность» — для объектов и их множеств, а не для суждений — и вводится, то только в том виде, в котором оно дано в начале статьи:

Противоположный объект — лежащий по другую сторону от некоторой точки некоторого параметрического пространства на некоторой прямой, проходящей через эту точку, на том же расстоянии от этой точки, что и тот объект, которому он противоположен.

Да, можно сделать над собой усилие и ввести этот термин так, как рассматривалось выше по тексту, а потом внимательно следить, чтобы значение термина рассматривалось исключительно в таком смысле и ни в каком ином. Однако практика показывает, что в этом случае с неизбежностью на введённые таким образом «противоположности» начинают переноситься закономерности, верные только для «противоположных в параметрическом пространстве относительно точки» объектов.

Просто потому, что ассоциации с бытовым языком склоняют к этому.

Ну а потом, организовав себе таким способом кучу неочевидных противоречий, некоторые заключают: «ой, с логикой что-то не так, нужна другая». Давайте, типа, сделаем такую, где у нас единство противоположностей и так далее.

Но нет, с логикой что-то стало не так, исключительно потому, что вы нарушили её правила: введя в неё невнятные, внутренне противоречивые термины и смешав их определения с ассоциациями из разговорного языка.

Контринтуитивные названия понятий действительно сильно осложняют понимание. Но это не из-за самой логики, а из-за используемых вами слов.

Чтобы же избежать ненужных языковых ассоциаций, два суждения, которые не могут быть одновременно истинными, сейчас называются не «противоположными», а «несовместимыми». Ясное дело, на «несовместимость» гораздо тяжелее машинально перенести свойства, в бытовом языке характерные для «противоположности».

Если два суждения, вдобавок, не могут быть одновременно ложными, их действительно называют «противоречивыми» или «контрадикторными».

Однако они при этом являются подмножеством «несовместимых» суждений — в ином случае мы поймаем минимум два вышеописанных внутренних противоречия.

Впрочем, на практике несколько удобнее, оказывается, называть «противоречивыми» не просто те два суждения, которые являются прямыми отрицаниями друг друга, а любые два или более, из которых можно вывести одновременно А и не-А.

Поэтому, таки да, дорогие друзья, если вы, пользуясь ошибочным предположением «в старых текстах и теориях содержится больше мудрости, чем в современных, а потому надо начать с них», читаете эти самые «старые тексты», то вам надо постоянно иметь в виду, что «мудрые» предки закопали в огороде мегатонны граблей, которые потом очень долго разминировали их «глупые и неблагодарные» потомки. И любой такой «старый текст» потенциально вам обеспечит захватывающую прогулку по этим граблям.

Причём, это распространяется не только на девятнадцатый век и ранее, а и на двадцатый тоже: ряд вещей, которые считались верными даже во второй половине двадцатого века, оказались не верны. Не говоря уже про первую его половину.

Например, в начале двадцатого века всё ещё считалось, что наша галактика — это и есть вся вселенная. Да, вот так, про существование других галактик тогда не знали. Хотя некоторые из них даже можно увидеть невооружённым глазом.

«Астрономия — всё та же». Ага.

С логикой — аналогично. Хотя Аристотеля и называют «её отцом», его логика сильно отличалась от современной.

И в этом заключено вовсе не «кому тогда верить?!», а самый что ни на есть научный метод: абсолютно любая теория может оказаться ошибочной. Или, по крайней мере, содержать ошибки. А потому не надо думать, что у «умных предков» всё абсолютно правильно в каждом слове их текстов.

Будто бы деньги, подобно людям, имеют некую «память», и им не всё равно, что именно перепродаётся.

Введи мы вместо «одной и той же лошади», например, «лошадь и корову», эта ментальная проблема тут же бы исчезла.

Чел купил лошадь за $60, а продал за $70.

Чел купил корову за $80, а продал за $90.

Сколько он наварил в сумме?

Тут ответ гораздо более очевиден, хотя задача — точно та же. Чуть-чуть поменялись только декорации.

Когда-то не только обычные люди, но и математики, решали алгебраические задачи при помощи перекладывания камушков — мысленного или даже реального. И особым искусством было придумать последовательность перекладывания, приводящую к правильному ответу и одновременно с тем доказывающую его правильность.

Изобретение алгебры позволило забить на камушки и решать задачи чисто механически.

И это — правильно. Надо освободить мозг от декоративных деталей и вычленить лежащую за этим алгебру. После же формулировки уравнений задачу можно считать решённой: дальше уже дело техники.

Не думайте о лошадях, думайте об уравнениях — вот общий принцип математики. Как, впрочем, и формальной логики.

Правда, здесь алгебраические уравнения нам не понадобятся — достаточно простой арифметики. Но принцип при этом сохраняется: не думайте о лошадях.

Про лошадь нас тут не спрашивают. Нас спрашивают только про деньги у чела. Поэтому нам надо тупо в лоб записать с минусом то, что от чела ушло, и с плюсом — то, что пришло. И всё это тупо сложить.

С этим справится даже ребёнок.

Если не думать о лошадях.

Сейчас, конечно, уже основной носитель стереотипов не первое поколение программистов, поэтому не «регистры и прерывания», а «вложенные циклы и условное ветвление в три экрана длиной» считаются вещью, от которой решительно невозможно избавиться.

Но фишка в том, что таки можно. И люди таки избавляются. И программирование становится всё ближе к «формальному языку для человеческих рассуждений» и всё дальше от минимализма и неинтуитивности Машины Тьюринга.

Сейчас у меня для иллюстрации того, как это сейчас работает, появился отличный пример — задача о выдумывании несуществующих слов.

Словогенерация — штука не только занимательная, но и практически полезная. Нужно вам, например, создать фэнтезийный мир для компьютерной игры или художественного произведения, а в нём, в этом мире, сотня персонажей и тысяча городов на карте — весьма проблематично придумать такое количество несуществующих слов. Фантазия, скорее всего, сдастся уже на втором десятке.

И вот оттуда возникает идея поручить придумывание слов компьютеру. Ну а сами сценаристы потом из списка выберут наиболее прикольные.

Любой, кто пытался думать на тему того, как случайным образом сгенерировать слово, довольно быстро понимал, что для этого совершенно не подходит случайный выбор буквы для каждой позиции. Слова в этом случае получаются не просто некрасивыми, но и совершенно нечитаемыми. Конечно, вероятность генерации прикольного слова не нулевая, но довольно низкая, а потому придётся перерывать горы шлака, чтобы такое слово отыскать среди десятков тысяч «фдвлафлдывайу» и «ыйзукъчамвафкнйук».

Потом иногда (но не обязательно) приходит в голову, что можно генерировать буквы не совсем случайно, а согласно частоте их использования: «т» встречается в словах чаще, чем «ш», и так далее. Однако положения это не спасает. Слова всё равно оказываются нечитаемыми, хотя теперь распределение букв по частоте использования в них примерно соответствует их распределению в каком-нибудь естественном языке.

В общем, единственный вариант — учитывать то, что не любая буква может идти после любой буквы. Вот «и» после «т» встречается, а после «ы» — нет.

Этот вариант уже неплох, однако перечислять вручную все возможные пары довольно долго. Кроме того, не всегда сходу понятно, бывают ли такие пары.

Вдобавок, внезапно, всё равно генерируется множество нечитаемых слов. Да, каждая пара букв реалистична, но вот сочетание из трёх и более букв при этом может оказаться нереалистичным. Например, встречаются сочетания «тр» («трамвай»), «рн» («корни») и «нт» («грунт»). Если алгоритм пользуется исключительно разрешёнными парами букв, то сочетание «трнтрнтр» для него вполне допустимо. А для нашего фэнтезийного мира — обычно нет.

То есть желательно использовать более длинные цепочки. Однако количество возможных вариантов растёт как степенная функция от количества букв в них. Если возможных пар в русском языке 33*33 = 1089 (что, впрочем, не вполне так, поскольку в названиях городов ещё могут быть, как минимум, апостроф, дефис и пробел), то троек уже 33*33*33 = 35 937. Задолбаешься перебирать.

А четвёрок — 1 185 921. Тут ручное их перечисление уже за гранью реальности.

Выход из положения нам подсказывает ещё одна наличествующая проблема: если просто перечислить допустимые пары, то названия будут слишком «беззубые». Поскольку топонимы связаны с языками местного населения, у них есть определённый «стиль». Названия английских городов звучат немного не так, как, например, голландских или японских. Даже при переносе национальных названий на другой язык, некий национальный колорит в них всё равно сохраняется: в том языке для топонимов возможны не все сочетания, которые в принципе возможны в этом языке.

Отсюда напрашивается решение: надо взять список городов некоторой страны или региона и извлечь из них допустимые сочетания. А потом именно ими пользоваться для генерации названий — тогда эти названия будут в основном читабельными и нести в себе некий «колорит» этого региона.

Когда-то, лет десять назад, я реализовывал этот алгоритм. И хотя я не был большим любителем всяких низкоуровневых штук, «циклов» (правда, в виде итераторов, а не просто счётчиков) в том коде было навалом. Ну и в целом реализация получилась довольно длинной и тяжёлой для понимания.

Прошло время, и мне снова захотелось реализовать этот алгоритм. В том числе потому, что, например, в Mathematica есть возможность запрашивать названия городов по регионам, что изрядно упрощает составление списков.

Однако времена изменились. Там, где раньше мои мысли сразу же рвались в гущи итераторов и чащи условий, сейчас в первую очередь думалось о трансформациях множеств.

Реально, смысл современных подходов именно в этом: примерно так же, как я описывал алгоритм на естественном языке, он должен описываться и на языке программирования. У нас есть некие множества, и мы их неким способом трансформируем.

Предположим, у нас уже есть «словарь» — множество имён собственных. Для простоты рассуждений, их пока что будет всего два.

words = {"Lond", "Lund"};

Для начала нам надо реализовать превращение слова в цепочки букв. Формат их описания будет максимально простой. Что-то типа

Lo → n
Lon → d

То есть сначала идёт некое сочетание уже существующих букв, а потом — через стрелку — какая буква может идти после этого сочетания.

Если нам дано слово и номер буквы, для которой мы строим цепочку, то способ построения этой цепочки практически очевиден. Мы берём первые n−1 букву, добавляем стрелку, а после неё добавляем n-ую букву.

makeChain[word_, n_] := StringTake[word, n − 1]  →  StringTake[word, {n}]

Работает оно примерно так.

Чтобы получить все цепочки из слова, надо применить эту функцию для букв от второй до последней.

Возможно, кто-то на этом месте уже задумался о цикле. Однако цикл нам нафиг не нужен: нам ведь надо сконструировать список правил, а не повторить что-то там сколько-то там раз.

makeChains[s_] := Table[makeChain[s, n], {n, 2, StringLength@s}]

Да, тут есть что-то, напоминающее цикл: «n меняется от 2 до длины строки». Но я не думаю о данной подзадаче в такой терминологии. Я не думаю: «нам надо инициализировать переменную числом 2, а потом увеличивать это число на один, пока оно не станет равным длине строки». Нет, я думаю «нам надо создать список результатов функции makeChains для одной и той же строки, но для разных порядковых номеров буквы».

Просто потому, что так думать ощутимо проще. Фактически, я рассматриваю слово, как список букв, из которого хочу получить список их возможных цепочек.

Теперь надо проделать аналогичное для каждого слова из словаря и соединить результаты.

Тут я снова воспринимаю ситуацию не как потенциальную возможность для написания цикла, а как трансформацию множеств: при помощи makeChains мы можем преобразовать множество слов во множество цепочек букв, соответствующих этим словам.

makeAllChains[dict_] := makeChains /@ dict

После этого для получившегося множества нужные некоторые другие трансформации.

Во-первых, нам нужен обычный список, а не набор вложенных.

makeAllChains[dict_] := makeChains /@ dict // Flatten

Во-вторых, из него, видимо, надо удалить повторяющиеся элементы. В данном примере их нет, но в общем случае они там могут появиться.

makeAllChains[dict_] := makeChains /@ dict // Flatten // DeleteDuplicates

Трансформации множеств буквально нанизываются одна на другую. Конечно, так можно было бы сделать и с циклами, но сам стиль такого мышления, скорее всего, склонил бы программиста к заполнению тела этого цикла кучей дополнительных проверок, суровых хаков и т. д. При мышлении же множествами алгоритм сразу же видится как цепочка независимых друг от друга преобразований.

Так проще думать о смысле происходящего, поскольку вопросы технической реализации почти что от этого не отвлекают.

В частности, на данном этапе я замечаю, что для генерации слов нам пригодятся символы начала и конца слова — с их помощью будет легко найти первые буквы для слов и буквы, на которых слова могут закончиться.

Это — ещё одна трансформация: ко всем словам надо дописать символы начала и окончания (для этого я буду использовать один и тот же символ — подчёркивание).

stopSign = "_";
signs[dict_] := stopSign ~~ # ~~ stopSign & /@ dict

Эту трансформацию следует добавить к самому началу процесса: преобразовать таким образом весь поступивший на вход словарь.

makeAllChains[dict_] := makeChains /@ signs@dict // Flatten // DeleteDuplicates

Собственно, половина пути до составления правил генерации уже пройдена. И самое время задуматься о том, как она будет работать.

Видимо, мы начнём с подчёркивания, как начала слова, найдём те символы, которые могут идти после него, и добавим случайно выбранный из их числа. Потом возьмём строку из двух символов и снова найдём в списке все буквы, которые могли бы идти после них, и так далее, пока на каком-то этапе мы не выберем подчёркивание, означающее, что генерация слова завершилась.

То есть нам было бы удобнее, если бы список правил сразу бы содержал списки вариантов следующей буквы. Сейчас, например, у нас есть два варианта того, что может идти после «_L»:

Но было бы удобнее, если бы оно хранилось в другой форме:

_L → {o, u}

Иными словами, нам нужна ещё одна трансформация: группировка правил по «ключу» — левой от стрелки части.

makeRules[dict_] := GroupBy[makeAllChains@dict, First@# &]

Вторым параметром GroupBy тут передана функция извлечения первой части выражения со стрелкой, созданная прямо на месте — без имени функции и имени параметра.

Но пока что получается не совсем то, что хотелось бы.

Здесь действительно произошла группировка, но нам не нужно повторение «ключей» и стрелок в списках букв, возможных после данного сочетания. Благо, при группировке можно указать тот фрагмент, который следует оставить. Нам, в частности, нужна только вторая часть выражения — та, что справа от стрелки.

makeRules[dict_] := GroupBy[makeAllChains@dict, First@# &, Extract@{All, 2}]

На данный момент, вся программа занимает пять строк. И ещё одна строка понадобилась, чтобы как-то назвать символ подчёркивания.

При этом она делает уже практически всё, что нужно: берёт словарь и генерирует из него список цепочек с альтернативами.

Точнее, не список, а «ассоциацию» (её нам вернула функция GroupBy).

В других языках программирования «ассоциации» часто называют «картами» или «словарями». Основной смысл этой структуры в том, что по «ключу» — тому, что слева от стрелки, можно быстро получить соответствующее ему «значение» — то, что справа от стрелки.

Делается это примерно таким образом:

Именно этим мы воспользуемся при генерации слов: просто будем запрашивать у ассоциации список дальнейших возможных букв по строке, уже сгенерированной в данный момент времени, которая будет «ключом». И выбирать из списка букву наугад.

nextLetter[rules_, wordPart_] := RandomChoice@rules[[wordPart]]

Заметьте, сколь удобно рассуждать таким образом. Я просто формально записываю на языке программирования ровно то, что сказал на естественном языке: «Попросим у набора правил список букв, соответствующий уже сгенерированной части. А потом выберем из этого списка букву наугад». Я ведь в рассуждениях ничего не говорю про «циклы», «счётчики», if-then и так далее. Нет их и в написанной мной программе.

Да, что-то такое сокрыто где-то внутри используемых мной методов, но в этом-то вся суть: современный язык программирования с самого начала содержит набор универсальных операций, при помощи которых легко рассуждать практически о любой задаче. И эти рассуждения ближе к естественному человеческому языку, нежели к низкоуровневым компьютерным «регистрам» и «прерываниям». И даже чем к циклам со счётчиком или получению значений списка по их порядковому номеру.

Если бы этих универсальных операций, подобных «человеческому» языку рассуждений, изначально не было в языке или в его стандартной библиотеке, их бы стоило реализовать в общем виде и только потом уже переходить к решению конкретных задач.

Так вот, теперь у нас есть генерация буквы и остаётся описать генерацию слова целиком.

Как уже говорилось, она весьма проста: мы берём уже сгенерированную часть, запрашиваем по ней следующую букву, добавляем её к сгенерированной части и повторяем процесс.

proceed[rules_, wordPart_, letter_] := With[
{r = wordPart ~~ letter},
proceed[rules, r, nextLetter[rules, r]]
]

Окончиться процесс должен на генерации подчёркивания — конца слова. Тут, казалось бы, нужно условие, но мы обойдёмся без него — просто объявим частный случай proceed: уже не для произвольной буквы, а для подчёркивания, названного нами stopSign.

Он, соответственно, должен просто отбросить первый символ — подчёркивание — от того, что уже сгенерировано, и вернуть результат.

proceed[rules_, wordPart_, stopSign] :=
StringTake[wordPart, -(StringLength@wordPart — 1)]

Чтобы запустить процесс, нам надо вызвать proceed со знаком подчёркивания в качестве затравки.

rules = makeRules[words];
proceed[rules, stopSign, ""]

Удивительно, но процесс описания алгоритма практически на этом и заканчивается. Разве что, запуск процесса ещё можно было бы оформить в отдельную функцию.

Вот вся содержательная часть программы.

stopSign = "_";
signs[dict_] := stopSign ~~ # ~~ stopSign & /@ dict

makeChain[word_, n_] := StringTake[word, n − 1] -> StringTake[word, {n}]
makeChains[s_] := Table[makeChain[s, n], {n, 2, StringLength@s}]

makeAllChains[dict_] := makeChains /@ signs@dict // Flatten // DeleteDuplicates

makeRules[dict_] := GroupBy[makeAllChains@dict, First@# &, Extract@{All, 2}]

nextLetter[rules_, wordPart_] := RandomChoice@rules[[wordPart]]

proceed[rules_, wordPart_, letter_] := With[
{r = wordPart ~~ letter},
proceed[rules, r, nextLetter[rules, r]]
]
proceed[rules_, wordPart_, stopSign] :=
StringTake[wordPart, -(StringLength@wordPart — 1)]

Правда, в ней пока что не учтён один нюанс: на данный момент она может генерировать слова только из словаря. Ведь все построенные нами сочетания начинаются от самого старта одного из слов словаря, а потому иные слова, кроме тех, по которым построены правила, не могут быть сгенерированы.

Для генерации случайных слов нам надо брать из буквосочетаний в правилах только некоторое количество последних букв. И при генерации слова, соответственно, брать из уже сгенерированной части слова то же количество букв. И уже по вот этому урезанному фрагменту извлекать список возможных следующих букв.

Удобно будет завести для этого соответствующую функцию, в которой учесть, что часть слова на данный момент может быть меньше интересующего нас количества букв, и в этом случае надо просто взять все имеющиеся.

cut[len_][wordPart_] := StringTake[wordPart, -Min[len, StringLength@wordPart]]

В принципе, можно было бы обойтись и одним набором параметров, однако с двумя набора проще вызывать эту функцию для трансформации списков.

Вот как будет выглядеть код, после внедрения в него урезания.

stopSign = "_";
signs[dict_] := stopSign ~~ # ~~ stopSign & /@ dict

cut[len_][wordPart_] :=  StringTake[wordPart, -Min[len, StringLength@wordPart]]

makeChain[word_, n_] := StringTake[word, n − 1] -> StringTake[word, {n}]
makeChains[s_] := Table[makeChain[s, n], {n, 2, StringLength@s}]

makeAllChains[dict_] := makeChains /@ signs@dict // Flatten // DeleteDuplicates

makeRules[len_][dict_] := GroupBy[makeAllChains@dict, cut[len]@First@# &, Extract@{All, 2}]

nextLetter[len_][rules_, wordPart_] := RandomChoice@rules[[cut[len]@wordPart]]

proceed[len_][rules_, wordPart_, letter_] := With[
{r = wordPart ~~ letter},
proceed[len][rules, r, nextLetter[len][rules, r]]
]

proceed[len_][rules_, wordPart_, stopSign] :=
StringTake[wordPart, -(StringLength@wordPart — 1)]

Тут, конечно, явно слишком много лишних повторений нового параметра, от них можно было бы избавиться, определив все эти функции внутри другой функции, но, в принципе, можно оставить, как есть.

Ну и полезно было бы иметь ещё одну вещь: функцию, которая обрабатывает словарь и по нему строит сразу много слов.

Реализация этой функции практически не отличается от тех строк, которые были выше использованы для запуска процесса генерации одного слова. Просто надо повторить этот процесс требуемое количество раз и класть результаты каждой генерации в список.

gen[len_][dict_, size_] := With[{rules = makeRules[len][dict]},Table[proceed[len][rules, stopSign, ""], size]
]

Сейчас, однако, несмотря на то, что мы используем цепочки букв конечного размера, функция генерации всё равно может случайно сгенерировать какое-то слово из исходного словаря. Поскольку нам нужны новые слова, из получившегося списка надо выбрать только слова, отсутствующие в изначальном словаре. Ну и заодно убрать все дубликаты.

gen[len_][dict_, size_] := With[
{rules = makeRules[len][dict]},
Table[proceed[len][rules, stopSign, ""], size]
// Select[! MemberQ[dict, #] &] 
// DeleteDuplicates
  ]

В принципе, на этом месте у нас уже есть полностью готовый к практическому использованию инструмент. Разумеется, ещё имеет смысл написать какие-то функции, чтобы было проще запрашивать список городов по списку регионов. Возможно, к этому надо приделать некий пользовательский интерфейс, однако вся содержательная часть непосредственно словогенерации уложилась в код, влезающий на один экран.

И вместе с тем осмысление этого кода было практически тождественным осмыслению самого алгоритма на уровне «человеческих рассуждений», а не «компьютерных». Действительно, ни циклы, ни условия в явном виде не понадобились. Как не понадобилось обращение к элементам списка по порядковому номеру, вложенные друг в друга ветвления в коде и прочие «низкоуровневые», ассоциирующиеся с «настоящим программированием» вещи.

Можно предположить, что за всё это мы заплатили скоростью работы программы. И да, тут действительно есть несколько мест, где работу программы можно сделать чуть более быстрой, в обмен на ухудшение читаемости и понятности программы.

Однако уже в данном виде программа выдаёт ответ «мгновенно» — за столь короткое время, что кажется, будто бы ответ появился сразу же после запуска. Имеет ли смысл ускорять её ещё сильнее?

Наверно было бы неправильно просто закончить на этом, не показав результаты работы этой программы. Поэтому всё-таки немного скажу и об этом.

Эксперименты показывают, что при длине буквосочетаний 4 и более, возможное количество слов сильно сокращается, и одновременно с тем слова начинают слишком сильно напоминать слова исходного словаря.

Для оптимального баланса между «стильностью» и отличием от исходных слов хорошо подходит длина буквосочетаний 3 (соответствие трёх предыдущих букв одной следующей за ними).

Попробуем это на примере городов Московской, Воронежской и Брянской областей.

Если же хочется более вычурных названий, то можно пользоваться длиной 2.

Длина же 1 приводит к почти полной потере «стильности» названий. Хотя наверно тоже способна навести на какие-то идеи.

Далее всё генерируется с длиной буквосочетаний 3.

Фэнтезийные города Англии.

Фэнтезийные города Мексики.

Фэнтезийные японские города.

Будучи употреблено в конструкции настоящего времени, это слово означает именно то самое, что написано в его определении: буквально всегда, совсем всегда. Ну или хотя бы «эффективно всегда» — то есть всегда на столь большом промежутке времени, что его конечность можно не учитывать, либо же на промежутке, совпадающем с границами существования того объекта, к которому это «всегда» относится.

Например, «я всегда говорю только правду».

Эта фраза со всей очевидностью читается, как указание на то, что этот человек говорил только правду в прошлом, будет говорить только в будущем и даже сейчас говорит только правду.

Однако стоит подставить «всегда» в конструкцию с прошедшим или будущим временем, временной отрезок, охватываемый этим словом, тут же меняется.

«Я всегда пил коньяк по утрам». Тут как бы сразу понятно, что он всегда пил, но теперь уже как бы сомневается, стоит ли продолжать. То ли бросить решил, то ли не уверен, что и дальше в таком стиле потянет, то ли что-то ещё, но явно это «всегда» простирается лишь из неопределённого прошлого до текущего момента.

«Я всегда буду следовать уставу». Опять же, сама фраза уже несёт в себе как бы «оправдание». Что-то типа: «ну да, раньше я ему, конечно, не каждый раз следовал, однако с этого дня обещаю больше не нарушать». Иными словами, данное «всегда» охватывает неопределённое будущее, начиная с настоящего момента.

На это же намекают и особые оговорки. Так, если человек хочет подчеркнуть, что он не «осознал и исправился», а никогда и не сворачивал с верного пути, он не ограничивается только «следую», но говорит: «я всегда следовал, следую и буду следовать уставу». Такое «всегда», таким образом, не столь полноценно и всеобъемлюще, как «настоящее всегда».

Налицо асимметрия: в одном случае слово означает полный объём времени, а в других — только его часть.

Что ещё хуже, эта закономерность не столь очевидна, поскольку в некоторых случаях даже в настоящем времени «всегда» не является полноценным. Например, известный ритуал приёма в пионеры звучал примерно так.

— Пионер, будь готов!

— Всегда готов!

Вполне понятно, что до того пионер явно не был всегда готов, поскольку в пионеры его принимают только сейчас. И если под словом «всегда» понимать буквальное «всегда», то придётся с прискорбием заключить, что начало пребывания в пионерах неразрывно связано с ритуальным враньём: каждый говорит «всегда», хотя всем понятно, что раньше было совсем даже не «всегда».

Это подводит к мысли, что, на самом деле, тут, несмотря на настоящее время в конструкции, всё равно имеется в виду урезанное «всегда» — направленное из текущего момента в будущее.

Однако из-за того, что тут используется данный коварный омоним, это уже не столь прозрачно, сколь могло бы быть при наличии отдельного слова для данного понятия.

Но какое же слово выбрать? По этому поводу у нас есть следующие соображения.

Взаимоотношение между полноценным «всегда» и каждым из двух неполноценных подобно взаимоотношению геометрической прямой и луча — линии, с одной стороны, как и положено прямым, уходящей в бесконечность, а с другой стороны ограничивающейся определённой точкой.

К сожалению, «луч-всегда» звучит весьма неблагозвучно и интуитивно непонятно. Но зато особый случай лучей подсказывает нам гораздо более удачный способ словообразования.

В декартовой координатной системе оси это прямые. При этом для каких-то целей можно взять только положительную или только отрицательную часть оси, включая точку начала координат. Для этой части есть понятное каждому название «полуось». И вот он — ключ к решению проблемы.

Полноценное «всегда» так и остаётся «всегда», а его омонимические неполноценные варианты будут называться «полувсегда». С дополнительными расшифровками: «положительное полувсегда» и «отрицательное полувсегда». Или, для краткости, «плюс-полувсегда» и «минус-полувсегда».

Данная терминология позволит пионеру из примера говорить только правду:

— Пионер, будь готов!

— Плюс-полувсегда готов!

Теперь рассмотрим ситуацию, когда кого-то приняли в пионеры год назад, а сейчас хотят убедиться, что он всё ещё годный пионер. Повторение вышеописанного диалога, увы, будет означать, что последний год он злостно нарушал обещание: ведь он снова говорит, что готов будет только с текущего момента времени и дальше.

Конструкцию со «всегда» при этом он употребить не может, поскольку она бы означала, что он был готов ещё до принятия в пионеры, а это — тоже неправда.

Тут мы имеем дело со смещением начала координат, а потому могли бы в скобках указать, либо точные координаты начала, отличные от принятого по умолчанию текущего момента, либо относительное положение момента старта в сравнении с текущим моментом.

Например,

— Пионер, будь готов!

— Плюс-полувсегда(2017) готов!

Или

— Пионер, будь готов!

— Плюс-полувсегда(–1 год) готов!

В такой форме пионер, во-первых, произносит чистую правду, а во-вторых, гораздо более точно информирует окружающих о происходящем. Ложная трактовка его слов теперь уже маловероятна. Налицо значительный прогресс в коммуникации.

Надо отметить, что работа по уточнению разговорного языка только начата, и потому решена лишь самая первая, простейшая задача. Ведь если, скажем, для «никогда» довольно легко ввести аналогичную форму: «полуникогда», — то для других подобных случаев — например, «везде» — понадобится уже более сложный анализ и разработка нетривиальных конструкций: относящихся к трёхмерному пространству, способных выделять конкретную полуось базиса или даже произвольный вектор, пространство с одной стороны плоскости и т.п.

Однако наш НИИ Точного Словообразования плюс-полувсегда(10.07.2018) будет продолжать свою работу, что полунесомненно приведёт к стремительному росту уровня взаимопонимания между людьми.

Дело в том, что у света конечная скорость распространения. Очень большая — порядка 300 000 км/с, но всё же конечная.

Пока мы находимся в пределах Земли, мы имеем дело с расстояниями от сантиметров до, максимум, километров (расстояние до горизонта — порядка четырёх километров), поэтому изображение предмета долетает до нас за миллионные или даже миллиардные доли секунды. Ввиду чего мы можем отождествлять увиденный нами свет с самим объектом? За миллионную долю секунды стол вряд ли успел сильно измениться, да и если даже он двигался с нашими земными скоростями, то ошибка в его наблюдаемом нами местоположении, по сравнению с реальным, слишком ничтожна, чтобы иметь для нас значение.

Но в космосе иные масштабы. Луна находится в среднем в 380 000 километрах от Земли, поэтому свет передаёт нам то, что было на ней чуть более секунды назад.

Марс в самом оптимистичном для нас случае находится уже в 55 миллионах километров от Земли, поэтому его мы видим с задержкой в три минуты. В среднем же он удалён от нас на 225 миллионов километров и тут уже речь о задержке в двенадцать минут.

Плутон от нас в среднем в 5,7 миллиардах километров. Поэтому мы видим его с запозданием более чем в пять часов.

Глядя на небо, мы всё время смотрим в прошлое.

Но в далёкое ли? ОК, Плутон мы видим в его состоянии пять часов назад, но это ж вроде бы не так много? Он, конечно, успел куда-то улететь, но наверно ведь недалеко?

Скорость Плутона порядка 16 800 км/ч, то есть за пять часов он улетает примерно на 85 000 километров, что примерно вчетверо больше максимально возможного расстояния на поверхности Земли.

И Плутон ещё относительно близко от нас.

Удобной единицей измерения для космических расстояний является «световой год». Про него часто ошибочно думают, будто бы в световых годах каким-то хитрым способом измеряется время — ведь «год» же. Но нет, «световой год» — это буквально то расстояние, которое свет проходит в вакууме за год.

Легко догадаться, что если измерять расстояние в световых годах, то ровно с той же задержкой в годах мы будем видеть этот объект.

Так вот, до ближайшей (кроме, конечно, Солнца) к нам звезды — Проксимы Центавра — 4,2 светового года.

Чуть подальше — примерно в 6 световых годах — находится звезда Барнарда. Эта звезда примечательна тем, что она довольно быстро движется относительно нашей системы. Её скорость порядка 142 км/с.

За год она проходит 4,5 миллиарда километров. Как было сказано выше, расстояние до Плутона — 5,7 миллиарда километров. И вот эта звезда за год преодолевает четыре пятых от него.

За то время, пока от неё доходит до нас свет, она успевает преодолеть шесть таких расстояний — 28 миллиардов километров.

Диаметр нашей галактики — порядка 100 000 световых лет.

Если бы звезда Барнарда была бы расположена на другом краю галактики, то за то время, пока к нам бы дошёл её свет, она успела бы пролететь 11 расстояний от нас до ближайшей к нам звезды.

Ну, или если мы, предположим, сумели бы каким-то образом разглядеть планету на этом самом противоположном к нам галактическом краю, то ситуация на ней соответствовала бы стотысячелетней давности. У нас на планете всего 5500 лет прошло от появления письменности до современной цивилизации, 40 000 лет назад вымерли последние неандертальцы, а 45 000 лет назад появилось то, что сейчас называется «нами» — Homo sapiens — как видом.

Там ведь тоже всё могло поменяться за 100 000 лет.

Одна из ближайших к нам галактик — галактика Андромеды — находится от нас в 2,5 миллионах световых лет и движется в нашу сторону со скоростью примерно 300 км/с. В результате она сейчас находится в 2500 световых годах от того положения, где мы её видим. Это почти как 600 расстояний от нас до Проксимы Центавра.

Сейчас в телескопы можно разглядеть и гораздо более далёкие объекты. И увидеть, таким образом, ещё более далёкое прошлое. Тем более далёкое, чем дальше от нас находится данный объект.

Расположение звёзд на небе не просто не соответствует их текущему расположению в пространстве, но вдобавок ещё и не соответствует расположению ни в какой момент времени вообще: поскольку более дальние от нас объекты успели сместиться на большее расстояние, чем ближние.

Вот как это можно проиллюстрировать. Предположим, что с зелёного кружка в центре данной иллюстрации мы наблюдаем некие, вращающиеся вокруг него объекты. Все эти объекты находятся довольно далеко, поэтому задержка по времени уже существенна.

Слева изображено, как объекты расположены в пространстве в данный момент, а справа — то расположение, которое мы бы видели с этого зелёного кружка.

Чтобы было понятнее, наложим картинки друг на друга.

В нашей гипотетической ситуации хотя бы сохраняется сам рисунок, хотя и смещаются расположения его фрагментов, однако в реальности небесные объекты движутся друг относительно друга не столь простым образом. И наблюдаем мы ситуацию вовсе не из неподвижного центра кругового вращения.

Иными словами, видимые нами созвездия — это именно что «видимые нами». Это не только уникальная пространственная их проекция на нашу личную «небесную сферу», но и наш уникальный временной срез ситуации — по сферическим слоям.

Переместившись на относительно далёкую звезду, мы бы увидели звёздные расклады совершенно иными. Не только «под другим углом из другой точки», но и «в другом расположении во времени».

Во вселенной всё сейчас уже не так, как мы сейчас видим. И ни в какой момент времени не было так.

Бетельгейзе.

Причём не так не только расположение объектов, но и сами объекты. У звёзд ведь есть свой жизненный цикл — они рождаются в туманностях, взрываются сверхновыми, сгорают и превращаются в звёзды другого типа. Всё это мы можем наблюдать с Земли, но наблюдаем мы по-прежнему прошлое.

В настоящем же, возможно, некоторые из тех звёзд, которые мы видим на небе, уже не существуют. И не только в далёких-далёких галактиках, а даже в нашем ближайшем окружении. И не только видимые в телескоп, а даже видимые невооружённым глазом.

Например, одно из наиболее узнаваемых созвездий — созвездие Ориона, несёт на своём плече одну из самых ярких на нашем небе звёзд — Бетельгейзе.

Увы, вполне возможно, что её уже нет.

Мы видим её такой, какой она была 450—600 лет назад (точная оценка расстояния до звёзд такого типа сейчас сопряжена с некоторыми трудностями), и уже тогда она была в стадии, в которой весьма вероятен её взрыв, как сверхновой.

Вероятность, правда, не означает гарантии — астрономические масштабы времени весьма протяжённы, и она вполне может просветить ещё миллион лет, а то и вообще не взорваться, а просто выгореть, однако вероятность всё-таки не нулевая, а потому не исключено, что она взорвалась прямо сейчас, но узнаем мы об этом только через полтысячелетия.

Как не исключено и то, что как раз полтысячелетия назад она и взорвалась, поэтому мы узнаем об этом прямо сейчас.

Следует заметить, что учёные не предсказывали гибель всего живого на Земле из-за взрыва Бетельгейзе — это «предсказали» журналисты, неправильно понявшие слова учёных и перенёсшие описание событий, которые будут происходить вблизи Бетельгейзе на нашу Солнечную систему.

Впрочем, даже если Бетельгейзе продержится ещё долго, то всё равно ведь вспышки сверхновых постоянно наблюдаются. И большинство на самом деле произошли десятки тысяч, сотни тысяч, а то и десятки миллионов лет назад.

И в тот момент, когда с небосвода исчезает какая-то звезда, на самом деле всего лишь исчезает с нашего неба «фотография» её далёкого прошлого.

---

Другие статьи из этой серии:

Часть 1 — Смена времён года — https://xren.su/myths-about-astronomy-1/

Часть 2 — Земля вращается вокруг Солнца — https://xren.su/2334/

Часть 3 — В Солнечной системе 9 планет — https://xren.su/myths-about-astronomy-3/

Часть 4 — В космосе невесомость — из-за слабой гравитации — https://xren.su/myths-about-astronomy-4/

Часть 5 — Только с космической скоростью можно улететь с Земли — https://xren.su/myths-about-astronomy-5/

Часть 6 — Фазы Луны — https://xren.su/myths-about-astronomy-6/

Часть 7 — Вращение Луны и её обратная сторона — https://xren.su/myths-about-astronomy-7/

Часть 8 — Астероиды — https://xren.su/myths-about-astronomy-8/

С времён тридцати-сорокалетней давности прошло тридцать-сорок лет. Однако аргументы вышеупомянутых разумных людей, видимо, оказались столь сильны, что многие их повторяют и по сей день, пребывая в полной уверенности, что если когда-то, например, компьютеры стоили столь дорого, что позволить себе их могли только особо крутые НИИ особо крутых стран, то так будет всегда, а потому персональных компьютеров в массовом употреблении просто не может быть.

Так вот, за эти тридцать-сорок лет солнечная электроэнергия подешевела примерно в 50 раз, а если сравнивать с 1977-м — в 250 раз (с $76 до $0,3 за ватт).

Тут, конечно, следует учесть и инфляцию тоже, но даже без её учёта масштабы впечатляют.

Для ветряной энергией соотношение менее впечатляющее (в первую очередь, потому, что она и изначально была менее дорогой), но оно тоже весьма заметно.

Причём в эту цену входит не только непосредственно производство и содержание, но и стоимость постройки сооружений и оборудования, включая, разумеется, прибыль производителей.

То же, что «производство солнечной электростанции по расходу энергии равно тому, что она за всё своё существование выработает» — байка. В основном основанная на вере людей в тезис «далёкие предки всегда умнее потомков»: типа, «они, вот, строили угольные электростанции, а солнечных почти не строили, поэтому угольные однозначно круче».

Конечно, чёрный пиар лоббистов нефтяной и угольной промышленности тоже вносит некоторый вклад. Но он тут не основное — в общемировых масштабах пиар-то довольно вялый (хотя в отечественных СМИ он ощутимо сильнее).

Основное тут — ошибочная экстраполяция некоторого состояния на всё будущее человечества. Первые солнечные электростанции, разумеется, были экспериментальными. Технология всё ещё не отработана. Производство их компонент всё ещё штучное, а не серийное. Смежные технологии всё ещё пятидесятилетней от нас давности. Да и сами станции строятся в первую очередь для эксперимента и отработки технологий, а не для коммерческой прибыли. Потому, да, там может так выйти, что её постройка не окупится никогда.

Однако сегодня солнечная батарея или ветряк при производстве потребляют настолько ничтожную часть от своей будущей выработки, что считать это препятствием для внедрения средств производства возобновляемой энергии столь же осмыслено, сколь утверждать, что не надо строить кирпичный завод, поскольку на его постройку тоже будут потрачены кирпичи, а раз так, то «он никогда не окупится».

Все эти источники электроэнергии, разумеется, уже относительно давно окупаются. Поскольку производство их составных частей сильно подешевело, а их КПД сильно возрос.

Для солнечной и ветряной энергии существовал ещё ряд дополнительных проблем. Дело в том, что солнечная энергия, внезапно, вырабатывается только когда светит солнце, а ветряная — когда дует ветер. Но вот электричество люди хотят потреблять и в другие моменты тоже.

Аналогичное верно и для тепловых электростанций: они тоже вырабатывают электричество только тогда, когда там что-то сгорает в адских топках. Однако подбрасывать в них «дровишки» можно по мере надобности, а вот заставлять солнце по мере надобности светить, люди пока что не научились.

Для первых экземпляров электростанций на ветрах и солнечном свете это было заметной проблемой.

Во-первых, они — по причине своей экспериментальности — не всегда были включены в единую сеть. Во-вторых, аккумуляторы в те времена тоже были существенно хуже, чем нынешние.

Сейчас электростанции зачастую увязаны в единую сеть, охватывающую весьма большие территории (одним из пионеров построения таких сетей, кстати, был СССР), а потому могут «подстраховывать» друг друга.

Мало того, в единую сеть увязываются и локальные источники возобновляемой энергии тоже. В некоторых странах, в частности, разрешено запускать лишнюю энергию от солнечных батарей, стоящих у тебя на крыше или на огороде, обратно в общую сеть и даже получать за это деньги.

Одновременно с тем, благодаря совершенствованию аккумуляторов, локальную энергию стало можно относительно эффективно запасать. Из-за чего теперь вполне можно делать дома на энергетическом самообеспечении.

Между делом стоит отметить, что давно уже есть способ запасания электроэнергии в весьма оригинальной форме: её излишек можно тратить на закачивание воды на высоту в водохранилище, а при недостатке — сливать эту воду, крутя ей турбины.

Данный способ — не ноу-хау, его придумали ещё в середине двадцатого века. Однако его до сих пор вполне можно использовать.

Мало того, экстраполяция потребления энергии на произвольный срок в будущее — тоже ложная. Нельзя просто взять и продлить имеющуюся кривую на бесконечность: очень во многих процессах бывает, например, эффект «насыщения». А в других процессах может начаться даже спад.

В интересующем нас процессе причины для возможного спада очевидны: КПД всевозможных девайсов тоже меняется с ростом технологий.

Например, сейчас в ходу энергосберегающие лампочки, которые потребляют в 10—30 раз меньше энергии, чем лампы накаливания. Но — для нас важно — светят они столь же ярко.

Спад потребления энергии — это не обязательно ограничение себя во всём. Это, в том числе, более эффективное использование имеющегося. Уровень благосостояния может расти и при падении фактических затрат: просто потому, что КПД растёт, и всё меньшая часть идёт на выброс, как побочный продукт.

Лампы накаливания, например, просто сильнее грели воздух, нежели энергосберегающие. Они не «лучше светили», они «сильнее грели».

Примерно так же вели себя компьютеры шестидесятых: они работали сильно медленнее современных, но потребляли больше энергии и были дороже в производстве.

Что интересно, даже процессы, ассоциирующиеся с как бы «неустранимо большими затратами энергии», тоже демонстрируют рост КПД — то есть уменьшение требуемого количества энергии на один и тот же конечный результат.

Скажем, выплавка металла «методом предков» — на дровяной энергии, гораздо более энергетически затратна, нежели в современной, например, индукционной печи. Да и даже сами «современные печи» с девятнадцатого века успели изрядно поменяться в плане энергопотребления.

Иными словами, рост КПД вполне может не просто остановить рост энергопотребления, но даже привести к его снижению при продолжающемся росте благосостояния.

В общем, всё поменялось. Мобилка — это уже не признак принадлежности к богатым. Офигенно мощный по меркам 1960-го года комп уже можно носить в кармане, купив его за тридцать баксов на развале. Мы уже можем вообразить себе задачи, для которых 640 килобайт памяти не хватает. И керосиновые лампы уже не вершина технологии.

Те аргументы, которые совершенно точно были верны в 1980-х, вполне могут перестать быть верными в 2018 м. Просто потому, что прогресс-то идёт.

Впрочем, всё ещё можно услышать, будто бы основным доказательством несостоятельности возобновляемых источников энергии является то, что «лишь малая доля электроэнергии производится таким способом».

Однако, друзья мои, когда в Англии строили доменные печи, лишь малая часть металла выплавлялась таким способом. Очень многие народы мира в те времена продолжали выплавлять металл в сыродутных печах, некоторые другие — вообще строго на костре (железо так обработать не получится, но медь — можно), а ещё более некоторые, так и вообще не умели выплавлять металл совсем.

Технологии, внезапно, всегда сначала внедряются в первую очередь в технологически развитых государствах.

Ровно так происходит и сейчас: возобновляемая энергия составляет малую часть потребляемой всем миром энергии, однако в мире далеко не все страны одинаково развиты, а потому не все могут резко начать производить сложные штуки с переднего края технологий.

При этом доля-то такой энергии весьма быстро растёт. Даже в общемировом потреблении.

С двухтысячного года производство ветряной энергии выросло в 30 раз, а солнечной — в 300.

Однако если сделать выборку наиболее развитых стран, то там расклады ещё круче.

Германия, например, сейчас вышла на 37% потребления электричества, полученного из возобновляемых источников, — с 3,4% в 1990-м. И, судя по всему, перевалит за 40% уже к 2020-му.

Ну ладно, Германия, как и США, где тоже доля возобновляемой энергии стремительно растёт, это «проклятые империалисты, которые угнетают весь мир и за счёт этого живут». Наверняка у них это потому, что они с жиру бесятся.

Но как быть с тем, что страна, в которой количество источников возобновляемой энергии растёт быстрее всего и одновременно с тем самые большие в мире инвестиции в эту область, это Китай? Эти тоже типа всех угнетают и бесятся с жиру?

Ведь есть более вероятное объяснение столь сильного напора на «невозможность перехода» со стороны, например, российских официальных СМИ: в экспорте РФ доля от продажи нефти, газа и их производных — порядка 64%.

А потому кое-кому выгодно делать вид, что так будет всегда. Всегда будут нужны нефть и газ. Можно ничего не менять, поскольку ничего изменить всё равно невозможно. Всё путём.

Но на практике все эти «вся Германия без РФ нахрен замёрзнет или хотя бы будет сидеть без света» или «Китаю без нас никуда» — блеф. Приятный сердцу «российского патриота», а потому с большой радостью — под соусом «трезвого взгляда на устройство мироздания» — ими потребляемый и распространяемый, но всё-таки блеф.

Положение вещей стремительно меняется и, вообще говоря, уже заметно поменялось.

В квантовом мире всё — и вещество, и взаимодействие частиц вещества — состояния полей. Причём разных: даже если за всей природой стоит некое единое поле, то всё равно оно проявляет себя так, что его можно разложить на несколько разных полей.

Квант каждого поля — это наименьшая возможная его порция. На более мелкие порции поле уже нельзя поделить, хотя некоторые поля в разных условиях делятся на порции разного размера.

Среди полей, отвечающих за взаимодействия, есть известные всем гравитационное и электромагнитное, а также менее известные широкой публике «сильное» и «слабое».

Сильное взаимодействие, в частности, удерживает протоны и нейтроны внутри ядра. Положительно заряжённые протоны отталкиваются друг от друга электромагнитным взаимодействием, поэтому, если бы не было «сильного взаимодействия», они бы разлетелись из ядра. Сильное взаимодействие на очень малых расстояниях оказывается сильнее электромагнитного и тем самым его компенсирует.

Слабое взаимодействие, в частности, обеспечивает бета-распад: реакции, например, распада нейтрона на протон, электрон и антинейтрино, или протона на нейтрон, позитрон (зеркальную — с положительным зарядом — копию электрона) и нейтрино.

«Частицей» в квантовой физике называется некая порция одного или нескольких полей, переносящая одновременное изменение их состояния. Например, фотон переносит электромагнитное взаимодействие, то есть изменение состояний электрического и магнитного полей. В определённых обстоятельствах эти поля выглядят независимыми, и установление их единства потребовало нескольких десятилетий работы экспериментаторов и теоретиков. Это стало основой разработки электрогенераторов, моторов, радиотехники. Ещё через век была разработана теория, объединяющая электромагнитное взаимодействие со слабым: их переносят разные, но во многом сходные кванты. Практические применения этой теории пока ясны лишь в самых общих чертах.

Квантам поля соответствуют «элементарные частицы». То есть те, которые невозможно расщепить. Таковы, например, фотон и электрон.

«Составные частицы», как понятно из их названия, состоят из элементарных. Например, составные частицы протон и нейтрон состоят из элементарных частиц — кварков.

Частицы слабого взаимодействия ведут себя так, будто бы у них есть инертная масса: чтобы их разгонять — то есть придавать им ускорение, — нужно прикладывать силу.

Частицы же сильного и электромагнитного взаимодействия ведут себя так, будто у них нет инертной массы.

Физик-теоретик Хиггс показал, что должно существовать поле, взаимодействующее с частицами слабого взаимодействия, но не с частицами сильного и электромагнитного. Взаимодействие с этим полем и мешает разгонять частицы — придаёт им инертную массу.

Элементарным частицам присуща характеристика, соответствующая в макромире вращению (её называют «спин» — веретено). В естественных для квантовой механики единицах спин может быть целым — такие частицы называют бозонами, в честь Бозе, вместе с Эйнштейном разработавшего статистику их поведения, — или полуцелым — фермионы, чью статистику разработали Ферми и Дирак (хотя некоторые важнейшие особенности этой статистики указал Паули).

Свойства бозона Хиггса — частицы, переносящей взаимодействие с полем Хиггса — теоретически рассчитаны весьма приблизительно. Его экспериментальное обнаружение позволило значительно уточнить их. Это в свою очередь ограничило спектр возможных вариантов теории, способной описать с точки зрения квантовой физики одновременно сильное, слабое и электромагнитное взаимодействие. Значит, дальнейшая разработка такой теории пойдёт уже легче, и основанная на ней практика приблизится.

 

Авторы: Лекс Кравецкий, Анатолий Вассерман

О, боже мой, а что ещё-то?

Казалось бы, если закрыть глаза на неопределённость приоритетов и ввести «натянутую формулировку», то рекурсия должна работать: ведь даже в обсуждении проблем с приоритетами предполагалось, что она работает. В ней-то где ошибка?

Дело в том, что рекурсивное решение этой задачи основывается на том, что туземцы как бы пытаются вычислить то, что думают другие туземцы, о том, что думают третьи туземцы и так далее.

Однако есть тонкий нюанс, внимание!

Для того чтобы человек понял, какого цвета у него глаза, ему достаточно существования какого угодно способа это понять. Он может даже не рассматривать другие — единственного доказательства достаточно.

Но вот при анализе мыслей другого человека уже недостаточно существования хотя бы одного способа вычисления цвета своих глаз, чтобы гарантировать, что именно так этот человек и будет рассуждать. Нужно, чтобы этот способ был ещё и единственным, или хотя бы все существующие способы приводили к ровно тем же выводам. А в данном случае, вдобавок, ровно за то же количество дней.

Поясню на примере.

1. Туземец А видел вокруг себя одних только кареглазых, но узнал, что на острове есть голубоглазые. Методом исключения он может вычислить, что он — голубоглазый.
2. Туземец А решил проанализировать рассуждения Б и нашёл некий способ рассуждений, при помощи которого Б, скажем, на девятнадцатый день мог бы узнать, что он, Б, — голубоглазый.

В чём тут разница?

Разница в том, что в первом случае А обладает точным знанием о положении вещей.

Во втором же случае он знает лишь один из возможных способов, которым Б мог бы прийти к некоторому выводу. Однако он не знает наверняка, что Б будет идти к этому выводу именно этим способом.

Возможно, Б будет рассуждать как-то иначе и вычислит свой цвет глаз за другое количество дней.

Тогда вся рекурсия посыплется — ведь там всё основано, на привязке количества самоубившихся к порядковому номеру дня. Если же возможна иная привязка, то А будет знать наверняка только какую привязку выбрал он сам, а про выбранную Б привязку будет не точно знать, а лишь предполагать.

Да, мы пока что нашли способ рекурсивного вычисления к двадцатому дню цвета собственных глаз. Но мы ведь не доказали, что нет иных способов — приводящих к такому же ответу на сороковой или, наоборот, на пятый день.

Иными словами, в вышеозвученном рекурсивном решении неявно предполагается, что идеально логичные туземцы неявно предполагают, что каждый из них без какого-либо сговора будет рассуждать одним и тем же способом.

Вдобавок, этот способ ещё и основан на железной уверенности каждого из них, что все остальные тоже рассуждают этим же способом и тоже, в свою очередь, поголовно уверены, что все остальные рассуждают тем же способом.

Но нет, чтобы такое предположение использовать в доказательстве, надо ещё доказать, что все возможные способы рассуждений приводят к одному и тому же выводу, причём в один и тот же день. Только так можно быть железно уверенным в единстве способа рассуждений.

Ну или, в частном случае, достаточно было бы доказать, что существует всего один способ.

Так ли это?

Давайте проверим.

Если голубоглазый туземец всего один, то он сразу же методом исключения поймёт, что он — голубоглазый: ведь известно, что есть голубоглазые, при этом все, кроме него, кареглазые.

Тут существует всего один вариант рассуждений.

Однако давайте взглянем на двух туземцев. Точнее, взглянем на другой возможный вариант их рассуждений.

Туземец А думает:

• Предположим, я, А, — голубоглазый. Как тогда будет рассуждать Б? Например, так.
  • Предположим, я, Б, — кареглазый. Тогда голубоглазый А методом исключения вычислит, что он — голубоглазый, и покончит с собой на следующий день. Если же этого не произойдёт, я пойму, что я тоже голубоглазый и покончу с собой на второй день.
• Если Б покончит с собой на второй день, то я, А, пойму, что я — голубоглазый. И покончу с собой на третий день.

Заметьте, этот вариант тоже приводит А к однозначному установлению цвета своих глаз. Равно как и тот, который рассматривался в решении ранее. Однако в этом варианте А покончит с собой только на третий день, а не на второй.

Условие соблюдено: если А может вычислить свой цвет глаз, то он его вычисляет. Но в постановке задаче ведь не говорится, что он должен вычислить это максимально быстрым способом. Да, он мог бы вычислить это и на второй день тоже — предположив свою кареглазость и убедившись на опыте, что это не так. Однако ничто в условиях не обязывает его поступить именно так.

При этом А не находится в каком-то выделенном положении: Б ведь мог бы рассуждать ровно так же, как и А, и А об этом знает.

И А должен учесть такую возможность в своих рассуждениях:

• Предположим, я, А, — голубоглазый. Как тогда будет рассуждать Б? Например, так.
  • Предположим, я, Б, — голубоглазый. Как бы тогда рассуждал А?
    • Предположим, я, А, — кареглазый. Тогда голубоглазый Б методом исключения вычислит, что он — голубоглазый, и покончит с собой на следующий день. Если же этого не произойдёт, я пойму, что я тоже голубоглазый и покончу с собой на второй день.
  • Если А не покончит с собой на второй день, то я, Б, пойму, что я — голубоглазый. И покончу с собой на третий день.
• Если Б покончит с собой на третий день, то я, А, пойму, что я — голубоглазый и покончу с собой на четвёртый день.

Этот процесс — с включением в цепочку ещё одного предположения о голубоглазости, приписываемого другому в модели его рассуждений, — можно продолжать сколько угодно раз, всё дальше и дальше откладывая день полной ясности.

Однако самое главное тут, что ни А, ни Б, не могут точно знать, какой из бесконечного количества этих вариантов выберет другой. И при этом А точно знает, что Б не может знать точно, какой вариант выберет А, а Б точно знает, что А не может точно знать, какой вариант выберет Б.

Разумеется, аналогично будет и при большем количестве голубоглазых — они никогда не покончат с собой, поскольку никогда не будут
точно знать, какой из вариантов рассуждений выбрали другие островитяне.

В таком виде рекурсия лишь могла бы работать, если бы было точно известно, что все рассуждают абсолютно одинаково, но этого нет в условиях задачи, поэтому она не работает.

Подвох в рекурсии

Где-то между строк рекурсивного метода затерялось неявное приравнивание «знания» и «предположения о ходе рассуждений другого». При наличии же нескольких вариантов рассуждений, дающих тот же вывод о цвете своих глаз, но за разное время, предположение о выбранном варианте остаётся лишь предположением: его нельзя считать точным знанием А о мыслительной модели Б — на том лишь основании, что А известен один из возможных вариантов того, как мог бы рассуждать Б.

Чтобы островитяне знали точно варианты рассуждения друг друга, в постановку задачи следовало бы внести что-то вроде: «все туземцы, если есть такая возможность, обязаны вычислить цвет своих глаз максимально быстро и точно знают, что все остальные туземцы делают так же и точно знают всё это про всех остальных туземцев».

В такой формулировке всё население острова как бы начинает стремиться к массовому самоубийству при первом же к тому поводе.

И вот про неё, такую формулировку, видимо, уже можно доказать, что наискорейший способ выяснения цвета своих глаз всего один.

Две ошибки

Итого, красивое решение красивой задачи содержит минимум две ошибки: неопределённость в приоритетах правил и неверное предположение о том, что вариант рассуждений всего один, а потому его можно считать «точным знанием».

В результате, к условию задачи следует добавить ещё два положения:

• Островитяне не могут сообщать другим цвет их глаз, кроме как путём своего самоубийства.
• Все островитяне, если есть такая возможность, обязаны вычислить цвет своих глаз максимально быстро и точно знают, что все остальные островитяне делают так же и точно знают всё это про всех остальных островитян.

Разумеется, с такими дополнениями ситуация на острове становится совсем какой-то уж заведомо суицидальной, что разрушает всю художественность повествования.

Поэтому имело бы смысл превратить эту формулировку в более правдоподобный и одновременно с тем корректный вариант. Благо, она тоже встречается, причём иногда её тень проскальзывает даже в варианте с островитянами.

Мудрецы в колпаках

Султан как-то раз решил испытать своих мудрецов. Он сказал:

«На каждого из вас наденут синий или красный колпак и запрут каждого в своей комнате.

После этого каждому из вас скажут, на ком какого цвета колпак, но какой на вас не скажут. И посмотреть на него вы тоже не сможете.

К каждому из вас в полдень будет приходить стражник, которому вы можете сказать, какого цвета на вас колпак. Если хоть кто-то ошибётся, то всех вас казнят. Того же, кто угадает цвет своего колпака, отпустят.

Стражник ежедневно будет сообщать каждому из вас, казнили ли уже кого-то или, наоборот, отпустили.

Даю вам десять минут, чтобы попрощаться друг с другом, на тот случай, если кто-то из вас не угадает».

Могут ли мудрецы за эти десять минут придумать план освобождения, исключающий риск массовой их казни?

Вот тут, да, рекурсивный метод правда сработает, поскольку мудрецы могут договориться о едином способе рассуждений.

Впрочем, у них есть и более простой и понятный алгоритм:

• Если никого пока что не отпустили, то каждый должен помнить количество красных колпаков — N, о которых ему сообщили, и в день под номером N сказать, что на нём красный колпак.
• Если же мудрец узнал, что кого-то уже отпустили, он должен сказать, что на нём синий колпак.

Почему это работает? Мудрецы в красных колпаках знают об N красных колпаках, те же, на ком синий, — о N+1 красном колпаке. Соответственно, при таком алгоритме есть гарантия, что мудрецы в синем колпаке заявят о цвете своего колпака позже, чем мудрецы в красном. В день N все мудрецы в красных колпаках будут точно знать, что никто не знал о меньшем количестве красных колпаков, чем каждый из них — иначе об этом бы уже сказали. Мудрецы же в синих колпаках будут точно знать, что на них синий, поскольку все мудрецы в красном уже отпущены.

Мудрецы в колпаках без права на переговоры

Теперь предположим, что султан не дал мудрецам возможности посовещаться, а сразу запустил процесс.

В этом случае ситуация становится гораздо менее надёжной. Однако каждый мудрец знает, что другие мудрецы не желают быть казнёнными и хотели бы выйти как можно быстрее. Поэтому каждый из них мог бы предположить, что все остальные выберут наискорейший вариант безопасного вычисления цвета своего колпака: либо с рекурсивными рассуждениями, как в задаче про островитян, либо в виде «упрощённого алгоритма», как в предыдущем разделе.

Правда, эти алгоритмы предполагают выбор цвета, для которого будет использоваться алгоритм, выделенный цвет же султаном не был заявлен, а договориться мудрецам не дали.

Тут каждому мудрецу можно предположить, что все остальные мудрецы догадаются, что лучше бы выйти побыстрее, поэтому следует выбрать для алгоритма тот цвет, которому соответствует меньше половины известных тебе колпаков, если такое возможно.

То есть, если ты знаешь, что мудрецов — сто, а красных колпаков — двадцать, то быстрее всего можно выйти, если в алгоритм подставить красные колпаки. И все остальные, видимо, об этом догадаются, поскольку они тоже знают либо о двадцати, либо о двадцати одном, либо о девятнадцати красных колпаках.

Проблема наступает тогда, когда синих и красных колпаков примерно половина плюс—минус один.

Тут уже придётся, видимо, искать какую-то иную зацепку, вероятность нахождения которой высока и для других мудрецов тоже. Из очевидных же зацепок тут только то, что султан сказал «красные и синие колпаки» — именно в таком порядке. То есть надо выбрать красный, надеясь, что и остальные тоже ухватятся за эту единственную зацепку.

Однако все эти рассуждения, надо отметить, приводят не к гарантированному вычислению цвета своего колпака и всеобщему выживанию, а лишь к наиболее вероятному — точной уверенности нет, но есть обоснованная надежда, что другие мудрецы пойдут именно этим маршрутом, поскольку у всех них общие цели: выйти на свободу как можно быстрее и как можно сильнее снизить риск массовой казни.

В чём же отличие от ситуации с островитянами?

Мудрецы не хотят умирать и островитяне, видимо, тоже, однако отличие между ними в том, что те условия, которые позволяют мудрецам сохранить жизнь, напротив, приводят к смерти островитян.

Островитяне, если есть такая возможность, должны были бы стараться оттянуть свою смерть на как можно более дальний срок, что приводило бы к закономерной неопределённости относительно рассуждений других.

Мудрецы же, даже если им не дали договориться, всё-таки имеют некоторую определённость: ведь кратчайший путь рассуждений выгоден для всех них.

Кроме того, на мудрецов не наложены никакие табу по поводу раскрытия цвета колпака на другом мудреце — им просто физически отрезана возможность передать эту информацию иначе, нежели путём своего освобождения в какой-то день.

Однако запрета на это нет, что тоже снимает целый ряд неопределённостей, которым была посвящена изрядная часть статьи.

Иными словами, рекурсивный алгоритм в такой постановке задачи становится совершенно верным.

Хотя и не таким шокирующим, а потому не так сильно поражающим.

Автор рисунка — Александра «Renoire» Алексеева

Но как?

Постойте, я же только что расписал это решение во всех деталях, да и на других сайтах описывается оно же. Что тут не так?

Да, относительно этого сложного процесса нас тоже немного гложут сомнения, но тут ведь как с квантовой механикой: «заткнись и считай». Рекурсия сложна для понимания, но работает!

Вы знаете, особое изящество этой задачи мне видится в том, что рекурсия тут действительно работает. Причём на первых итерациях она даже интуитивно понятна, а на более поздних рождает щекочущее нервы чувство чудесной научной мистики, поэтому прямо-таки хочется поверить, что тут всё верно, ты только что понял что-то очень нетривиальное, а те, кто продолжает с ним спорить, просто «не догоняют» всей этой «логической крутизны».

Однако нетривиальность в первую очередь в том, что тут ошибки рассуждений кроются в очень глубоких глубинах. Настолько глубоких, что во всех дискуссиях об этой задаче, которые я встретил, люди, сомневающиеся в правильности решения, находили «ошибки» не там, где они на самом деле есть.

Иными словами, изящество этого «парадокса» в том, как здорово в нём замаскированы несколько очень суровых натяжек — внутри весьма изощрённого и «технологичного» решения.

В общем, вся эта рекурсия работает, только если закрыть глаза на ряд вещей, которые в условиях есть, и сделать ряд предположений, которых нет в условиях.

Спасительное противоречие

Дело в том, что в решении задачи игнорируется одно из её условий: у туземцев есть запрет на то, чтобы сообщать другим о цвете их глаз. Причём из контекста понятно, что имеется в виду не только «говорить», но и сообщать иным способом — рисовать на картинке, неожиданно показывать зеркальце или давать некий ребус, решение которого идеально логичным (это тоже есть в условии) туземцем привело бы к вычислению им собственного цвета глаз.

Так вот, в описанной ситуации туземцы совершенно точно дают друг другу такой ребус — ведь на этом построено всё решение со всей его рекурсией: их действия или бездействия приводят к тому, что в конечном счёте вообще все узнаю́т, какого цвета у них глаза.

Даже при наличии единственного голубоглазого его самоубийство оказалось бы «ребусом», сообщающим всем остальным, что они — кареглазые.

Иными словами, в традициях туземцев есть противоречие и правильный логический ответ, который каждый из них должен был бы сделать в этой ситуации, как идеальный логик: следует отменить эти противоречивые правила ещё до появления путешественника.

Если же эти правила не отменены, то в описанном случае им невозможно следовать, ведь хотя бы одно из них будет нарушено.

Вариант с неопределённостью

Условия задачи не сообщают нам, какие именно приоритеты у туземцев. Вполне возможно, что каждый из них счёл бы, что лучше нарушить одно правило, чем два: не самоубиться, узнав цвет своих глаз, но зато и не сообщить другим о цвете их глаз. Ведь альтернатива тому — нарушить правило о знании цвета своих глаз, выполнить правило о самоубийстве, и тем самым нарушить правило о несообщении.

Если же приоритеты были никак не оговорены, то ни один туземец не может наверняка знать, какой вариант выберет другой туземец, а потому не может однозначно вычислить цвет своих глаз.

Даже единственный голубоглазый на острове мог бы счесть, что важнее не сообщать другим цвет их глаз, чем самоубиться после вычисления своей голубоглазости.

Однако быть может, у туземцев всё-таки есть какие-то уточнения по этому поводу? Например, приоритет правил друг перед другом.

А, кстати, насколько они честны?

Если туземцы могут говорить друг другу неправду, и все знают об этом, то появляется выход из положения: сказать кому-то «ты — голубоглазый, но я, быть может, наврал». Если все сделали бы так, самоубийство зависело бы от того, поверил ли тот, кому это сказали, в сказанное или не поверил. Таким образом, самоубийства не давали бы однозначной информации о ситуации.

Единственного туземца это бы всё равно не спасло — он бы точно вычислил цвет своих глаз методом исключения, но вот в случае с двоими, ни один из них уже не мог бы знать наверняка, самоубился ли другой на первый день потому, что он не видит других голубоглазых или же потому, что поверил в сказанное ему «твои глаза — голубые».

Однако есть правило, что туземцы совершают самоубийство только тогда, когда точно знают цвет своих глаз, а не просто «верят» в него.

Одновременно с тем есть правило не сообщать никому цвет его глаз.

Если возможен обман, то это правило теряет смысл — ведь сообщение цвета ни к чему не приведёт. Даже изображение в зеркале можно подделать, не говоря уже про устные сообщения.

Это подводит к мысли, что туземцы могут сообщать только правду, и все поголовно знают, что все остальные сообщают только правду.

Варианты с честными островитянами

Итак, из условий задачи косвенно следует, что островитяне не только идеально логичны, но ещё и абсолютно честны.

Именно для этого случая мы и будем рассматривать варианты с приоритетами правил. Тут в каждом пункте они перечислены в порядке убывания их приоритета.

1. Не сообщать другим цвет их глаз; самоубиться, если узнал свой; не знать цвет своих глаз.
2. Не сообщать; не знать; самоубиться.
3. Не знать; не сообщать; самоубиться.
4. Самоубиться; не сообщать; не знать.
5. Не знать; самоубиться; не сообщать.
6. Самоубиться; не знать; не сообщать.

Не сообщать другим цвет глаз важнее, чем самоубиться, если узнал

Варианты 1, 2, 3.

В этом случае даже при наличии одного туземца процесс не пойдёт дальше — он не будет самоубиваться, чтобы не нарушить более важное правило о несообщении другим цвета их глаз, из-за чего не будет работать и вышеописанная рекурсия.

Все выживут.

Не знать свой цвет глаз важнее, чем не сообщать о нём другим

Варианты 4, 5, 6.

Поскольку самоубийство следует только после узнавания цвета своих глаз, в данном случае без разницы, в каком порядке эти два правила расставлены по приоритетам друг относительно друга. Следовательно, мы можем рассматривать всё это как единый случай.

В этом случае у единственного голубоглазого большие проблемы: он не может не узнать свой цвет глаз, а самоубиться важнее, чем не сообщать.

Однако если голубоглазых больше одного, то ситуация уже меняется. Ведь если не знать цвет своих глаз важнее, то следует сказать кому-то о цвете его глаз, если это позволит не узнать цвет своих.

Кареглазым об этом сообщать бесполезно — это не изменит положения вещей: ведь все голубоглазые знают всех кареглазых и, таким образом, сразу же поймут, что самоубийство кареглазого совершенно точно обусловлено тем, что им кто-то напрямую сказал о цвете их глаз.

Следовательно, надо об этом сказать голубоглазому.

Даже если такой всего один, то всё равно уже никто не может быть уверен, покончил ли он с собой из-за того, что ему сообщили о цвете глаз, или же потому, что он его вычислил (а, значит, рекурсивный метод — в деле, и все остальные тоже автоматически вычислят свой цвет глаз).

Причём, каждый конкретный островитянин, в принципе, может даже не сообщать об этом самостоятельно — достаточно уже возможности того, что голубоглазому о цвете его глаз сообщил кто-то другой: в этом уже есть достаточная для невозможности вычисления своего цвета глаз всеми остальными неопределённость.

Однако тут есть тонкость: если единственный хотя бы один голубоглазый не самоубился, то, значит, ему не сообщили о цвете его глаз. А раз так, то рекурсивное вычисление всё ещё возможно.

Поэтому в данной ситуации с неизбежностью должен покончить с собой хотя бы один голубоглазый, чтобы рекурсивный процесс застопорился.

Что касается кареглазых, то для них ситуация идеальна — сколько бы ни было голубоглазых, кареглазым точно не сообщат о том, что они — кареглазые, поскольку это никак не поможет избежать вычисления цвета своих глаз, но при этом у них не будет уверенности, потому ли им не сообщили, что они — кареглазые, или потому, что они голубоглазые, которым повезло.

Иными словами, в данном случае, в зависимости от везения, самоубьётся минимум один голубоглазый, но вот все кареглазые и те голубоглазые, которым повезло, выживут.

При наличии человеколюбия у туземцев, вообще говоря, они должны догадаться, что тот, кто видит нескольких голубоглазых, должен при всех сказать одному из них: «ты — голубоглазый», а остальные должны промолчать — это сведёт количество жертв к возможному минимуму — одной.

Важность определённости приоритетов

Как можно видеть по вышеприведённым рассуждениям, от ответа на вопрос о приоритетах зависит исход ситуации.

Если приоритеты не определены, то, в зависимости от личных предпочтений, возможно, что не самоубьётся даже единственный на острове голубоглазый. Или же единственный голубоглазый самоубьётся, но остальные не будут знать, это потому, что он — единственный, или потому, что кто-то счёл более правильным вариантом неизбежного нарушения традиций сообщить единственному голубоглазому, что он — голубоглазый. Если же голубоглазых больше одного, то никто ни в чём не уверен, а потому выживут все.

Если не сообщать другим цвет их глаз важнее, чем самоубиться, если его ты узнал, то выживут все.

Если не знать свой цвет глаз важнее, чем не сообщать его другим, то, в зависимости от везения, самоубьётся от одного до полного количества голубоглазых, но все кареглазые выживут.

Задача имеет разные решения, в зависимости от тех условий, о деталях которых умолчали: как правила по своей важности соотносятся друг с другом.

А что если запрета на раскрытие цвета глаз другого нет?

Предположим, что его действительно нет, просто из человеколюбия островитяне не сообщали о цвете глаз других, пока не появился злосчастный путешественник.

Однако когда он появился, ситуация ведь поменялась: теперь запущен процесс, который приведёт к нарушению запрета на знание собственного цвета глаз. И если раньше — из человеколюбия — о цвете глаз кому-то другому можно было не сообщать, то теперь и человеколюбие, и традиции требуют сообщить об этом хотя бы одному голубоглазому.

Минимум один туземец умрёт, но, возможно, этим дело и кончится. Кареглазые же однозначно выживут.

Изворачиваемся с условиями

В общем-то, понятно, что хотели сказать авторы задачи. Что-то типа: «островитяне не могут сообщать другим цвет их глаз, кроме как вот этими вот своими самоубийствами».

Эта формулировка выглядит крайне натянутой, однако рекурсивное решение приводит к вымиранию всего острова только с ней — такой вот натянутой.

Или не приводит?

Продолжение следует.

Автор рисунка — Александра «Renoire» Алексеева

Некоторые оговорки

Поскольку максимально полное изложение данной задачи сделать довольно трудно, то в этой художественной версии следует заранее отбросить все подвохи, типа…

1. Путешественник солгал
2. Какие-то местные жители могли подумать, что он солгал
3. Путешественник путает названия цветов или вообще их не различает
4. Не все местные жители логичны
5. Кто-то не расслышал его слова
6. Кто-то их неправильно понял
7. И тому подобное

Нет, это — логическая задача, поэтому не надо внутри некоторых возможных недоговорённостей и неточностей искать варианты альтернативных решений.
Мы вместо этого будем рассматривать некий идеальный случай.

Очевидное решение

Вполне понятно, что если бы единственный житель был бы голубоглазым, то он, услышав путешественника, сразу бы понял, что речь о нём — ведь все остальные кареглазые.

Если бы таких было двое, то каждый из них посмотрел бы на второго, увидел бы, что тот — голубоглазый и предположил бы, что тот всё понял и на следующий день покончит с собой. Если же этого не произошло, то, значит, он сам тоже голубоглазый — именно поэтому тот второй не самоубился сразу — он тоже видел одного голубоглазого. В общем, на следующий день оба бы все поняли и убились бы на второй день.

Однако голубоглазых туземцев на острове — двадцать человек. То есть каждый однозначно видит минимум девятнадцать голубоглазых. Поэтому путешественник не сообщил им ничего нового — они были и так в курсе, что на острове до фига голубоглазых.

Поэтому все выжили, всё отлично.

Неочевидное рекурсивное решение

Мы уже знаем, что единственный голубоглазый бы наложил на себя руки на следующий день, а если бы их было двое — они бы ушли в мир иной через двое суток.

Однако что бы было, если бы голубоглазых оказалось трое?

Каждый из них догадался бы, что при наличии двоих голубоглазых, они бы умерли на второй день, а поскольку этого не произошло, то он сам — голубоглазый. Соответственно, все трое самоубились бы на третий день.

Видимо, так же должно было бы произойти и с четверыми: каждый бы думал, что, если он не голубоглазый, то оставшиеся трое должны умереть на третьи сутки. Если же они этого не сделали, то он — голубоглазый. Соответственно, все умрут через четыре дня.

Ровно таким же способом — рекурсивно — вычислялся бы случай для пяти голубоглазых, шести, семи, и так далее — до двадцати. Соответственно, двадцать голубоглазых вычислили бы свой цвет глаз к двадцатому дню и покончили бы с собой.

После этого все оставшиеся поняли бы, что они все — кареглазые, и на двадцать первый день остров бы вымер.

Именно это решение вы найдёте практически в любом источнике, где приводится данная задача. С возможными поправками на цвет глаз и суровость кары за знание своего цвета.

Где тут парадокс?

Парадокс тут вот в чём: вроде бы путешественник не сообщил туземцам ничего такого, чего бы они не знали. Все действительно ещё до встречи с путешественником были в курсе, что на острове полно голубоглазых, с чего вдруг озвучивание этой, всем известной информации привело к поголовному суициду?

Если бы мы имели дело с одним голубоглазым, тут понятно: он не знал, что на острове вообще есть голубоглазые, а теперь вдруг узнал. Но когда голубоглазых видели все, то в чём прикол-то?

Если в результате знания о существовании голубоглазых через n итераций следует вычисление цвета собственных глаз, то каким образом путешественник вообще застал этот остров заселённым? Почему все не поубивались задолго до его приезда?

Разрешение парадокса

Чтобы это объяснить, вводится термин «общее знание» (common knowledge). Действительно, и до того все туземцы знали о наличии голубоглазых, однако они не знали, знают ли об этом все остальные.

Во всяком случае, это предполагается в концепции «общего знания».

Давайте посмотрим, как это работает на примере двоих голубоглазых.

Назовём их для определённости А и Б.

До прощальной речи путешественника А знал, что существует как минимум один голубоглазый. Однако А не знал, какого цвета у него самого глаза. Но ему было совершенно понятно, что, если у него глаза — карие, то Б не знает о существовании голубоглазых. Если же — голубые, то Б знает о существовании голубоглазых.

Поэтому у А не было определённости относительно знаний Б.

У Б всё было аналогично: он тоже не был уверен в знаниях А.

Когда же путешественник сообщил о существовании голубоглазых, то А стал точно знать, что Б знает об их существовании, независимо от того, какие у А глаза. Следовательно, если у А глаза карие, то Б должен вычислить свой цвет глаз и убиться на следующий день. Если же он этого не сделал, то А теперь точно знает, что у него глаза — голубые.

Раскрутка рекурсии

Однако в чём состоит «общее знание» в случае с тремя голубоглазыми — А, Б и В? Ведь А видит минимум двоих голубоглазых, поэтому может быть уверен, что Б и В тоже видят минимум одного голубоглазого (если сам А — кареглазый) или двоих (если А — голубоглазый). Что тут вообще может запустить процесс?

Туземец А может рассуждать так…

• Про себя я не уверен, какого цвета у меня глаза, однако давайте предположим, что я — кареглазый. Тогда Б должен видеть одного голубоглазого — В, и думать…
  • Предположим, что я, Б, — кареглазый. Тогда В должен понять, что голубоглазый — это он и назавтра самоубиться. Если он этого не сделал, то и я тоже — голубоглазый. Мы убьёмся на второй день
• Далее, А видит, что на второй день Б и В не самоубились, поэтому понимает, что его предположение о собственной кареглазости неверно, а потому на третий день надо бы самоубиться ему самому. Вместе, конечно, с Б и В, которые аналогичным способом обо всём догадались.

Здесь можно видеть, что путешественник своей речью запускает процесс уже не напрямую, а как бы «на втором уровне вложенности» — там, где А анализирует уже не ситуацию, а возможные рассуждения Б.

Туземец А точно видел перед собой двоих голубоглазых. Однако он не знал, сколько голубоглазых видит Б — возможно, только одного. «И тогда», — думает А, — «Б уже мог бы себе представить, что В видит вообще ноль голубоглазых».

То есть А понимает, что В точно видит минимум одного голубоглазого, но одновременно с тем понимает, что есть случаи (если сам А окажется кареглазым), в которых Б не будет понимать этого про В: ведь если Б — тоже кареглазый, то В не видит ни одного голубоглазого.

В этом контексте путешественник сообщил А, что теперь Б уверен, что В точно знает, что на острове есть хотя бы один голубоглазый туземец.

А теперь четверо

Дальше рассуждения идут по накатанной. Пусть у нас четверо голубоглазых: А, Б, В и Г.

Тогда А рассуждает так:

• Предположим, я, А, — кареглазый. Как тогда будет рассуждать Б?
  • Я, Б, вижу двоих голубоглазых. Предположим, что у меня карие глаза, как тогда будет рассуждать В?
    • Я, В, вижу одного голубоглазого — Г, и мы с ним оба знаем, что голубоглазые на острове есть. Поэтому либо он того-с сегодня, либо мы оба — завтра
  • Если же В с Г не самоубились на второй день, то я, Б, — голубоглазый. Самоубьёмся же на третий день
• Если же Б, В и Г не самоубились на третий день, то и я, А, — голубоглазый. Мы все вместе должны самоубиться на четвёртый.

Казалось бы, но ведь все четверо видят минимум троих голубоглазых? Чтобы же хоть кто-то самоубился, он должен видеть максимум одного — ведь только так он мог бы…

• …либо сразу же понять, что он — голубоглазый (если он вообще не видит других голубоглазых),
• …либо сразу же понять, что вон тот, которого он видит, сразу бы осознал свою голубоглазость, если бы тоже не наблюдал ещё одного голубоглазого.

Однако тут ведь такая ситуация невозможна: каждый из этих четверых точно знает, что остальные трое видят минимум двоих. Как же это работает?

Ну вот, смотрите.

• Я, А, вижу троих голубоглазых, но если я сам — кареглазый, то что видит и думает Б?
  • Я, Б, вижу двоих голубоглазых, но если я сам — кареглазый, что тогда видит и думает В?
    • Я, В, вижу одного голубоглазого, но предположим, что я — кареглазый, тогда Г должен видеть ноль кареглазых.

Иными словами, ситуация, в которой кто-то видит одного или даже ноль голубоглазых, существует не напрямую, а только в рассуждениях А о рассуждениях Б о рассуждениях В.

Где-то там, в глубине этих рассуждений путешественник как раз и превращает неопределённость в определённость.

И так далее

Поскольку данные рассуждения однотипны, мы их можем повторить с любым количеством голубоглазых. И таким образом мы приходим к мысли, что все N проживающих на острове голубоглазых с неизбежностью покончат с собой через N дней, а в день N+1 самоубьются все остальные.

Очень, очень красивое рекурсивное рассуждение. Выглядящее чудовищно парадоксальным и одновременно с тем сложным для понимания.

Поэтому многих людей действительно распирает гордость, когда они, наконец, распутывают всю эту рекурсивную логику и — даже если в их душе всё ещё остаются некоторые сомнения в верности этого решения, — спешат поделиться этим неземным наслаждением с другими.

Хотя бы для того, чтобы посмотреть, как другие будут мучиться, чтобы осознать всю изощрённость данного процесса и неумолимость вымирания туземцев после неосторожных высказываний путешественника.

В общем, это — прекрасное решение прекрасной задачи.

Жаль, что оно неверное.

Продолжение следует.

Автор рисунка — Александра «Renoire» Алексеева