Парадоксы

О логическом разрешении апорий Зенона я уже писал. Краткая суть в том, что в формулировке процесса по построению выколота та самая точка, где Ахиллес должен догнать черепаху, поэтому правильный ответ на эту гипотетическую ситуацию: «здесь рассмотрен тот промежуток времени, на котором Ахиллес не догнал черепаху, поэтому на этом промежутке он её действительно не догонит. Из чего, впрочем, не следует, что он её не догонит никогда».

Аналогичным способом решается «парадокс» про лампочку, которая первую половину часа горит, потом четверть часа не горит, потом восьмую часть часа горит и т. п. Там ровно то же самое: нельзя сказать, будет ли гореть лампочка ровно после первого часа, поскольку в изначальных утверждениях это просто не описано — данная точка выколота, как и всё, что следует после неё. Вывод: «для ответа слишком мало данных», а вовсе не «формальная логика не справилась с задачей».

 

Иными словами, логика не гарантирует вам ответ на любой вопрос, независимо от системы аксиом. «Стоит четырёхэтажный дом, в каждом этаже по восемь окон, на крыше — два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка?» На этот вопрос логический ответ: «Из предоставленных данных ответ не выводим». Это, подчеркну, тоже ответ. Логический. Закономерный. Прописанный в правилах логики, даже если кто-то их плохо понимает или не знает вообще.

Парадоксы с критскими лжецами и им подобные разрешаются через закон логики, согласно которому система первичных высказываний не должна содержать противоречий. В этих парадоксах противоречия есть, что доказывается простым рассуждением, поэтому правильный логический ответ: «система содержит противоречивые аксиомы, а потому некорректна». Из такой системы при помощи несложных логических операций можно вывести «доказательство» любого произвольного утверждения, а потому такие наборы аксиом просто нет смысла рассматривать: их следствиями является полное множество вообще всех утверждений, а потому они не несут никакой информации.

Парадокс с брадобреем, который бреет тех, кто не бреется сам, разрешается, например, выводом: «такой брадобрей не может существовать». Прямо по вышеописанному способу: есть запрет на наличие противоречий в системе базовых утверждений, а тут противоречие показывается парой операций.

Парадоксальную фразу «это утверждение — ложно» и ей подобные тоже можно разрешить вышеуказанным запретом на противоречивые системы базовых утверждений. Но, кроме того, и запретом на бесконечную рекурсию — в дополнение к требованию о непротиворечивости утверждений: если система высказываний при попытке проанализировать некое утверждение на истинность в её рамках приводит к бесконечной рекурсии, то данное утверждение просто не определено относительно данной системы утверждений.

Впрочем, есть и более извёрнутый способ разрешения, связанный со смыслом понятия «высказывание». В частности, высказывания о высказываниях — это не то же самого типа высказывания, что просто высказывания. Здесь в одной системе (и даже в одном утверждении) смешаны сразу два их типа, что в общем случае не гарантирует разрешимости и подводит либо к запрету на противоречия, либо к запрету на бесконечную рекурсию, но уже в ином смысле: здесь слово «утверждение» означает одновременно и логическое утверждение, и ссылку на саму фразу. Что не одно и то же. На каждом витке рассуждений мы будем наращивать «степень» этого отношения: утверждение об утверждении об утверждении, утверждение об утверждении об утверждении об утверждении и т. д. Каждый раз ошибочно считая, что, будто бы, термин «утверждение» имеет один и тот же смысл — раз уж он называется одним и тем же словом.

Впрочем, парадоксы, основанные на системе утверждений, некоторые из которых содержат утверждения о других утверждениях, тоже приводят к якобы «парадоксу». Как бы следует, что некоторое утверждение (обычно — как раз «утверждение об утверждении») одновременно истинно и ложно. Но нет, «парадокс» тут возникает исключительно потому, что мы пытаемся вывести истинность или ложность некоторой системы утверждений, основываясь на них же самих.

Такое просто невозможно сделать: можно лишь сказать, что утверждения содержат противоречие, поэтому не могут быть верны одновременно, а, следовательно, система аксиом противоречива.

Но иные утверждения об истинности сделать невозможно, ведь логика — это не про проверку истинности утверждений. Это про проверку истинности или ложности утверждений, относительно других утверждений.

Ну, или о неопределённости статуса их взаимоотношений, как в случае с «бабушкой швейцара».

Об этом же принципе, кстати, говорит и любимые многими теоремы Гёделя: они тоже доказываются именно что построением утверждения о системе утверждений. То есть это — попытка «доказать» истинность системы аксиом при помощи них же самих. Именно в этом смысле «неполна» непротиворечивая система аксиом: нельзя построить такую систему, которая докажет истинность её же самой. А вовсе не (как некоторые думают) что «в любой системе аксиом есть какие-то положения, утверждений о ней самой не касающиеся, но при этом ложные и истинные в её рамках одновременно». Так, разумеется, тоже может оказаться, но этого ни Гёдель, ни кто-либо другой никогда не доказывал.

При помощи обращения внимания на то, что именно утверждается, логически разрешаются парадоксы вида: «Вася сказал то, а Петя — это». Да, действительно, высказывания Васи и Пети могут противоречить друг другу, но в данном случае система утверждений состоит из утверждений о том, что именно сказали Вася и Петя, а вовсе не о том, что ими сказанное одновременно верно́. Если оно верно́, то это — система с противоречиями. Вопрос закрыт. Если же речь именно про то, что Вася вот так сказал, а Петя — вот эдак, то вариантов разрешения целая куча. Например, «Вася ошибся». Или «Петя врёт».

В описании «парадоксов» это пытаются замаскировать и в процессе рассуждений меняют смысл этих утверждений, нарушая первый закон логики: то делается акцент на том, что «Вася сказал, что А — истинно», то на том, что «А — истинно». Будто бы это — одно и то же. Но нет, при аккуратном анализе вся парадоксальность исчезает.

В общем, я пока что не встречал ни одного действительно «логического парадокса». Все они разрешаются обычной формальной логикой по закономерным правилам.

И мне, вот, интересно. А есть ли у вас такого рода примеры, которые ставят вас в тупик?