Метка: Логика

«Противоположности» противоположны не абсолютно, а относительно некоторой точки — «точки симметрии». Если взять другую точку, то «противоположности» относительно другой точки уже не будут таковыми относительно этой. А какие-то другие вещи, не исключено, ими станут.

Однако всегда можно спросить: а почему именно так? Нет ли способа попроще? Ну, как в разговорном языке: большой — маленький, белый — чёрный, толстый — худой? Зачем огород городить?

Собственно, огород приходится городить потому, что разговорный язык допускает вольности и множественные трактовки высказываний, а в точном языке, подобном формальной логике или математике, трактовка должна быть всегда одна — иначе результаты рассуждений на этом языке будут столь же размыты, как на разговорном, а истинность каждого выведенного из предпосылок суждения будет весьма сомнительной. А то и просто не будет истинностью.

И сейчас я покажу, где в этом огороде зарыты грабли. Много граблей.

Но для начала надо бы отметить, что граблей там много. Кроме ассоциаций из разговорного языка, есть ещё, как минимум, неудачно выбранные термины, встречающиеся в старых учебниках и статьях по логике. Да и в новых тоже иногда встречающиеся.

Так, например, возьмём учебник по логике Виноградова, 1954 года издания.

В нём для взаимоотношений пары суждений вводятся два термина: «противоречивость» и «противоположность».

Смысл этих терминов в том, что и «противоречащие», и «противоположные» суждения не могут быть одновременно истинными. Однако «противоречащие» суждения, в отличие от «противоположных», вдобавок ещё и не могут быть одновременно ложными.

Правда, вот это вот «вдобавок», там сформулировано весьма невнятно: «противоречащие» и «противоположные» явления в учебнике считаются разными группами, а не первое — подгруппой второго. А потому возникает ощущение, будто бы «противоречивые суждения» не относятся к «противоположным».

Не факт, что автор считал именно так, однако так вполне может показаться читателю.

Ну да ладно, судя по определению, «противоречащими суждениями» всегда являются суждение и его логическое отрицание. И только они.

Что, впрочем, подтверждается множеством примеров из самого учебника:

1. Натрий легче воды.
2. Натрий не легче воды.

Второе суждение — логическое отрицание первого. Они действительно не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными.

1. Все ученики нашего класса решили заданные на дом задачи по алгебре.
2. Некоторые ученики нашего класса не решили заданные на дом задачи по алгебре.

Второе суждение — логическое отрицание первого.

Ну и так далее.

С другой стороны, «противоположные» в данной терминологии суждения не являются логическими отрицаниями друг друга.

Это что-то вроде (снова примеры из книги):

1. Эта бумага белая;
2. Эта бумага чёрная.

Бумага, правда, не может быть чёрной и белой одновременно. Однако если бумага не белая, это не означает, что она — чёрная. Она может быть, например, синей.

Это кажется интуитивно верным, но, к сожалению, тут мы уже незаметно перешли от формальной логики к бытовым понятиям и разговорному языку.

Дело в том, что это наш бытовой опыт говорит нам, что бумага бывает разных цветов. Однако в формальной логике нельзя использовать бытовой опыт: нужны соответствующие посылки. Некая формальная фиксация «правил игры».

А потому без посылки «бумага бывает всех цветов», невозможно сказать, следует или не следует из того, что бумага не белая, то, что она — чёрная. Ведь если ввести посылку «бывает только белая или чёрная бумага», то уже-таки будет следовать.

Это может показаться «оторванным от реальности», однако формальная логика, она не про реальность, она про взаимоотношения между суждениями. И каждый её вывод звучит не как «в реальности верно утверждение Икс», а как «если верны предпосылки — утверждения А, Б, Ц и т. д., — то в этом случае верно и утверждение Икс тоже».

Причём в реальности примеры полезности такого подхода сплошь и рядом прослеживаются. Да, сейчас мы знаем, что бумага бывает разных цветов, но мало ли, в какой-то средневековой стране умели делать только белую и чёрную. Или в каком-то офисе есть только белая и чёрная. Рассуждения для таких случаев — с соответствующей предпосылкой — будут отличаться от рассуждений «для всего современного мира» с аналогичной предпосылкой, соответствующей ему. Хотя остальные предпосылки вполне могут остаться теми же. Однако выводы уже поменяются.

Такую неопределённость с бумагой можно было бы списать на «всего лишь пример». Однако за ним на самом деле стоит закономерность: бытовые понятия и языковые ассоциации чисто машинально переносятся на логику. И это происходит довольно часто. Даже прошаренный в логике может на каком-то этапе рассуждений машинально воспользоваться некоторым суждением только лишь потому, что «это же всем известно». Хотя данного суждения не было в системе базовых утверждений — предпосылок, и от его добавления туда все выводы сразу же приобретут необходимую добавку «если верно вот это вот суждение»: его нельзя просто на каком-то этапе использовать, а потом забыть.

Ну да ладно, предположим, это правда был только пример, и на самом деле автор на бытовые суждения не перешёл.

Есть ещё пример:

1. Все ученики в нашей группе — отличники;
2. Ни один ученик в нашей группе не отличник.

Эти суждения тоже не могут быть одновременно истинными, но вполне могут быть одновременно ложными: ведь возможно, что в группе есть и отличники и не отличники.

А теперь, внимание, происходит фокус.

Такие вот суждения — «противоположные». Этому термину дано чёткое определение, всё отлично. Однако читатель совершенно машинально начинает думать, будто бы рассматриваемые в двух противоположных суждениях множества (ну там, «белые объекты» и «чёрные объекты») тоже являются «противоположностями».

Хотя из определения термина это вообще никак не следует.

Вообще Виноградов «противоположности» не риторически упоминает единственный раз и в этот же раз даёт им совершенно гениальное определение:

ОТНОШЕНИЕ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ. В отношении противоположности находятся такие два понятия, которые по своему содержанию противоположны друг другу, но оба входят в объём одного и того же родового понятия.

Например: «чёрный цвет» и «белый цвет» (общий их род — «цвет»). Другие примеры: «храбрость» и «трусость», «подъём» и «спуск».

«В отношение противоположности входит то, что противоположно по своему содержанию». Фактически, это определение термина через него же самого. Ну как так вообще можно-то — в учебнике-то про логику?

Вполне понятно, что тут автор просто машинально соскочил с формального на разговорный язык: типа, в разговорном языке люди же знают, что такое «противоположны друг другу», и вот через это бытовое знание мы и введём новый термин, блин, точной науки.

Впрочем, введённым термином, как говорилось выше, он сам больше не пользуется.

Однако для читателя, который только ещё знакомится с логикой, а потому, скорее всего, не имеет хорошо структурированного мышления, эта штука подкрепляет более раннюю догадку: «в противоположных суждениях речь всегда идёт о противоположностях».

Хотя нет, это не так. Не вообще во вселенском абсолюте, а даже прямо в этом учебнике. Из данных в нём определений это никак не следует. И довольно легко привести вышеозначенной догадке контрпример (чем — по правилам логики — опровергнуть утверждение о всеобщности).

Пусть мы тут опираемся на «бытовой смысл» слова «противоположны», Ok. Опросим множество первых попавшихся носителей языка, опросим лингвистов, опросим писателей: являются ли слова «большой» и «гигантский» — противоположностями? Подавляющее большинство ответит: «нет». Вот «большой» и «маленький» — да, но «большой» и «гигантский» не антонимы, а явно лежат по одну сторону баррикад: они как бы просто сравнительные степени одного и того же — большого размера.

Если мы введём три группы — «маленькие предметы», «большие предметы» и «гигантские предметы», — задав для каждой группы непересекающиеся диапазоны размеров, то утверждения:

1. Вон тот грузовик — большой;
2. Вон тот грузовик — гигантский;

будут подходить под определение «противоположных суждений», ровно так же, как под них бы подошли «большой» и «маленький».

Однако, согласно нашему гипотетическому мини-исследованию разговорного языка, «большой» и «гигантский» не противоположности.

То есть не все противоположные суждения — суждения о противоположностях. Терминология просто загнала читателя в языковую ловушку.

Впрочем, можно было бы не ходить так далеко за примером, ведь есть ещё более простой:

1. Этот предмет — голубой;
2. Этот предмет — синий.

Много ли людей сочтут голубой цвет «противоположностью» синего? Думаю, примерно ноль. Однако под определение «противоположных суждений» данные два вполне подходят.

Быть может, это у нас такое хитрое определение термина «противоположности» — не соответствующее разговорному языку. Да, это странно, что автор почему-то ссылался на разговорный язык, когда давал определение, а оно ему после этого не соответствует, но быть может? Быть может, «Противоположности» — это то, о чём речь идёт в «противоположных суждениях».

Дальше он предлагает упражнение

Укажите противоположные понятия для следующих понятий: «пролетариат», «суша», «свет», «северный полюс», «война», «свобода», «шум», «приход», «красивый».

Ok, если наше предположение о несоответствии разговорному языку верно, и «противоположности» — это просто то, о чём идёт речь в «противоположных суждениях», то для «Северного полюса» противоположностью будет «Камчатка», для «войны» — «дискотека», для «шума» — «симфония Бетховена», для «пролетариата» — «рабы».

Да-да, мы понимаем, на какие именно «противоположные понятия» намекал автор. Однако суждения:

1. Я сейчас на Северном полюсе;
2. Я сейчас на Камчатке;

подходят под определения «противоположных». А потому, если верно то, что в противоположных суждениях всегда идёт речь о противоположностях, то «Камчатка» и «Северный полюс» — противоположности. А также «война» и «дискотека» или «пролетариат» и «рабы».

Предполагаемые вами «Южный полюс», «мир», «тишина» и «буржуазия» тоже являются понятиями, «противоположными» означенным, но, как легко видеть, далеко не только они.

Вообще говоря, «противоположностью множества А» при таком определении оказывается вообще любое множество (и любой его элемент), не пересекающееся с А и не дополняющее его до полного множества.

Вдобавок «не-противоположностью» пролетариата — оказывается «не-пролетариат»: ведь это множество, «не-пролетариат», как раз дополняет «пролетариат» до полного множества, а таковые суждения следует называть «противоречащими».

И «небелый» — не «противоположность» для «белого».

Как вам такая интуитивно понятная терминология? «Небелый» — не противоположность «белого», а вот «синий» — противоположность?

И это ещё только начало сей прекрасной песни. Вернёмся снова к группировке по размерам.

«Маленький» — это противоположность «большого»? Ok, предположим. А «маленький» и «гигантский»? Видимо, тоже противоположны.

Берём «большие объекты», их противоположность — «маленькие». Перемещаемся туда. Теперь то же самое проделываем для «маленьких». Куда мы попадём? В «большие»? А почему не в «гигантские»? Операция ведь не может «запоминать», что там было в начале, чтобы приводить нас именно к нему.

Если и «большие» и «гигантские» объекты — противоположность «маленьких», то мы не можем взять для «маленьких» в качестве «противоположных» только «большие» или только «гигантские». Операция не однозначна: она ведёт сразу в две эти группы. Поэтому её результатом должно быть логическое объединение этих групп.

Противоположность «маленьких объектов», таким образом, — объединение множеств «больших объектов» или «гигантских объектов».

Но почему «большие» и «гигантские» не противоположны? Исключительно потому, что в нашем разговорном языке вот такие ассоциации? Если мы выберем другое слово для ровно той же группы, введённой по тому же критерию, то они тут же станут «противоположными»? Нет, научные и логические выводы не могут зависеть просто от того слова, которым что-то называется.

Так нельзя: подходят под определение — противоположны, значит. А как называются, без разницы.

Однако по вышеприведённому рассуждению, ввиду того, что от бытового языка логическое понятие зависеть не может, противоположность «больших объектов» — объединение множеств «маленькие объекты» и «гигантские объекты».

«Противоположностью» множества оказалось логическое объединение множеств, лежащих на шкале размера по обе стороны от этого множества. Как вам такая «интуитивная понятность»?

Но подождите, это ещё не всё.

Если первый объект противоположен второму, то второй, видимо, должен быть противоположен первому. Выбранное нами определение говорит, что — да, так и есть.

Теперь вопрос: если два объекта «противоположны», то должно ли двойное применение операции «взять лежащее напротив» вернуть нас в исходную точку?

Противоположность первого объекта — второй, второго — первый. Тогда противоположность противоположности первого объекта — первый объект, нет?

Однако, внимание, «маленькие объекты» противоположность «больших объектов». Но, как мы выяснили, не только они — ещё и «гигантские объекты». Поэтому вышеприведённая закономерность не выполняется: из «больших объектов», взяв их противоположность, мы можем перейти в «маленькие», а взяв противоположность «маленьких» — в «гигантские». Операция не взаимно однозначна: её двойное применение может не вернуть нас в исходную точку.

Интуитивно понятно, да?

Но теперь самая крышесносящая особенность такой «противоположности», опирающаяся на различие «противоречащих» и «противоположных» множеств. Её понять несколько тяжелее, чем всё предыдущее, но, если её всё-таки понять, то восторг гарантирован.

Смотрите. В нашем примере объединение множеств «маленькие объекты», «большие объекты» и «гигантские объекты» составляет полное множество — мы ведь больше никаких множеств не ввели, а потому любой рассматриваемый нами объект обязательно должен попадать в одно из трёх.

«Большие объекты» и «гигантские объекты» — противоположности «маленьких объектов». То есть любая пара суждений:

Объект А — маленький;

Объект А — большой;

и:

Объект А — маленький;
Объект А — гигантский;

будет парой противоположных суждений.

Однако пара суждений:

Объект А — маленький;
Объект А — большой или гигантский;

уже не будет парой противоположных суждений, поскольку эти суждения дополняют друг друга до полного множества и должны считаться «противоречащими».

Из чего следует, что объединение множеств «большой» и «гигантский» не является противоположностью множества «маленький».

Каждое из множеств является, а их объединение — нет.

А мы чуть выше выяснили, что да. Определения терминов у нас, оказывается, не только контринтуитивны до глубокого цинизма, но ещё и внутренне противоречивы.

Правда, зашибись?

У множества А, скажем, 10 других противоположных множеств. Мы берём и объединяем какие-то два. Всё путём, их объединение — всё ещё противоположность множества А. Добавляем к ним третье — противоположность. Четвёртое — противоположность. И так до девяти. Но как только добавили десятое — бабах, не противоположность.

Если теперь взять объект из какого-то множества, отличного от А, то он будет противоположен любому объекту из множества А.

Однако если точно тот же объект посчитать принадлежащим к объединению всех множеств, отличных от А (это ведь действительно так: такое множество включает в себя каждое, его составляющее), то он не противоположен объектам из множества А.

Это ли не прекрасно? Один и тот же объект является и не является противоположностью другого объекта. И не по разным своим свойствам или в разные моменты времени, а по одному и тому же в один и тот же момент времени. Это ли не настоящая, хардкорная диалектика?

Иными словами, данные таким образом определения приводят минимум к двум противоречиям и — в довесок — к яростной неинтуитивности своих значений.

Собственно, именно поэтому, если понятие «противоположность» — для объектов и их множеств, а не для суждений — и вводится, то только в том виде, в котором оно дано в начале статьи:

Противоположный объект — лежащий по другую сторону от некоторой точки некоторого параметрического пространства на некоторой прямой, проходящей через эту точку, на том же расстоянии от этой точки, что и тот объект, которому он противоположен.

Да, можно сделать над собой усилие и ввести этот термин так, как рассматривалось выше по тексту, а потом внимательно следить, чтобы значение термина рассматривалось исключительно в таком смысле и ни в каком ином. Однако практика показывает, что в этом случае с неизбежностью на введённые таким образом «противоположности» начинают переноситься закономерности, верные только для «противоположных в параметрическом пространстве относительно точки» объектов.

Просто потому, что ассоциации с бытовым языком склоняют к этому.

Ну а потом, организовав себе таким способом кучу неочевидных противоречий, некоторые заключают: «ой, с логикой что-то не так, нужна другая». Давайте, типа, сделаем такую, где у нас единство противоположностей и так далее.

Но нет, с логикой что-то стало не так, исключительно потому, что вы нарушили её правила: введя в неё невнятные, внутренне противоречивые термины и смешав их определения с ассоциациями из разговорного языка.

Контринтуитивные названия понятий действительно сильно осложняют понимание. Но это не из-за самой логики, а из-за используемых вами слов.

Чтобы же избежать ненужных языковых ассоциаций, два суждения, которые не могут быть одновременно истинными, сейчас называются не «противоположными», а «несовместимыми». Ясное дело, на «несовместимость» гораздо тяжелее машинально перенести свойства, в бытовом языке характерные для «противоположности».

Если два суждения, вдобавок, не могут быть одновременно ложными, их действительно называют «противоречивыми» или «контрадикторными».

Однако они при этом являются подмножеством «несовместимых» суждений — в ином случае мы поймаем минимум два вышеописанных внутренних противоречия.

Впрочем, на практике несколько удобнее, оказывается, называть «противоречивыми» не просто те два суждения, которые являются прямыми отрицаниями друг друга, а любые два или более, из которых можно вывести одновременно А и не-А.

Поэтому, таки да, дорогие друзья, если вы, пользуясь ошибочным предположением «в старых текстах и теориях содержится больше мудрости, чем в современных, а потому надо начать с них», читаете эти самые «старые тексты», то вам надо постоянно иметь в виду, что «мудрые» предки закопали в огороде мегатонны граблей, которые потом очень долго разминировали их «глупые и неблагодарные» потомки. И любой такой «старый текст» потенциально вам обеспечит захватывающую прогулку по этим граблям.

Причём, это распространяется не только на девятнадцатый век и ранее, а и на двадцатый тоже: ряд вещей, которые считались верными даже во второй половине двадцатого века, оказались не верны. Не говоря уже про первую его половину.

Например, в начале двадцатого века всё ещё считалось, что наша галактика — это и есть вся вселенная. Да, вот так, про существование других галактик тогда не знали. Хотя некоторые из них даже можно увидеть невооружённым глазом.

«Астрономия — всё та же». Ага.

С логикой — аналогично. Хотя Аристотеля и называют «её отцом», его логика сильно отличалась от современной.

И в этом заключено вовсе не «кому тогда верить?!», а самый что ни на есть научный метод: абсолютно любая теория может оказаться ошибочной. Или, по крайней мере, содержать ошибки. А потому не надо думать, что у «умных предков» всё абсолютно правильно в каждом слове их текстов.

Будто бы деньги, подобно людям, имеют некую «память», и им не всё равно, что именно перепродаётся.

Введи мы вместо «одной и той же лошади», например, «лошадь и корову», эта ментальная проблема тут же бы исчезла.

Чел купил лошадь за $60, а продал за $70.

Чел купил корову за $80, а продал за $90.

Сколько он наварил в сумме?

Тут ответ гораздо более очевиден, хотя задача — точно та же. Чуть-чуть поменялись только декорации.

Когда-то не только обычные люди, но и математики, решали алгебраические задачи при помощи перекладывания камушков — мысленного или даже реального. И особым искусством было придумать последовательность перекладывания, приводящую к правильному ответу и одновременно с тем доказывающую его правильность.

Изобретение алгебры позволило забить на камушки и решать задачи чисто механически.

И это — правильно. Надо освободить мозг от декоративных деталей и вычленить лежащую за этим алгебру. После же формулировки уравнений задачу можно считать решённой: дальше уже дело техники.

Не думайте о лошадях, думайте об уравнениях — вот общий принцип математики. Как, впрочем, и формальной логики.

Правда, здесь алгебраические уравнения нам не понадобятся — достаточно простой арифметики. Но принцип при этом сохраняется: не думайте о лошадях.

Про лошадь нас тут не спрашивают. Нас спрашивают только про деньги у чела. Поэтому нам надо тупо в лоб записать с минусом то, что от чела ушло, и с плюсом — то, что пришло. И всё это тупо сложить.

С этим справится даже ребёнок.

Если не думать о лошадях.

Будучи употреблено в конструкции настоящего времени, это слово означает именно то самое, что написано в его определении: буквально всегда, совсем всегда. Ну или хотя бы «эффективно всегда» — то есть всегда на столь большом промежутке времени, что его конечность можно не учитывать, либо же на промежутке, совпадающем с границами существования того объекта, к которому это «всегда» относится.

Например, «я всегда говорю только правду».

Эта фраза со всей очевидностью читается, как указание на то, что этот человек говорил только правду в прошлом, будет говорить только в будущем и даже сейчас говорит только правду.

Однако стоит подставить «всегда» в конструкцию с прошедшим или будущим временем, временной отрезок, охватываемый этим словом, тут же меняется.

«Я всегда пил коньяк по утрам». Тут как бы сразу понятно, что он всегда пил, но теперь уже как бы сомневается, стоит ли продолжать. То ли бросить решил, то ли не уверен, что и дальше в таком стиле потянет, то ли что-то ещё, но явно это «всегда» простирается лишь из неопределённого прошлого до текущего момента.

«Я всегда буду следовать уставу». Опять же, сама фраза уже несёт в себе как бы «оправдание». Что-то типа: «ну да, раньше я ему, конечно, не каждый раз следовал, однако с этого дня обещаю больше не нарушать». Иными словами, данное «всегда» охватывает неопределённое будущее, начиная с настоящего момента.

На это же намекают и особые оговорки. Так, если человек хочет подчеркнуть, что он не «осознал и исправился», а никогда и не сворачивал с верного пути, он не ограничивается только «следую», но говорит: «я всегда следовал, следую и буду следовать уставу». Такое «всегда», таким образом, не столь полноценно и всеобъемлюще, как «настоящее всегда».

Налицо асимметрия: в одном случае слово означает полный объём времени, а в других — только его часть.

Что ещё хуже, эта закономерность не столь очевидна, поскольку в некоторых случаях даже в настоящем времени «всегда» не является полноценным. Например, известный ритуал приёма в пионеры звучал примерно так.

— Пионер, будь готов!

— Всегда готов!

Вполне понятно, что до того пионер явно не был всегда готов, поскольку в пионеры его принимают только сейчас. И если под словом «всегда» понимать буквальное «всегда», то придётся с прискорбием заключить, что начало пребывания в пионерах неразрывно связано с ритуальным враньём: каждый говорит «всегда», хотя всем понятно, что раньше было совсем даже не «всегда».

Это подводит к мысли, что, на самом деле, тут, несмотря на настоящее время в конструкции, всё равно имеется в виду урезанное «всегда» — направленное из текущего момента в будущее.

Однако из-за того, что тут используется данный коварный омоним, это уже не столь прозрачно, сколь могло бы быть при наличии отдельного слова для данного понятия.

Но какое же слово выбрать? По этому поводу у нас есть следующие соображения.

Взаимоотношение между полноценным «всегда» и каждым из двух неполноценных подобно взаимоотношению геометрической прямой и луча — линии, с одной стороны, как и положено прямым, уходящей в бесконечность, а с другой стороны ограничивающейся определённой точкой.

К сожалению, «луч-всегда» звучит весьма неблагозвучно и интуитивно непонятно. Но зато особый случай лучей подсказывает нам гораздо более удачный способ словообразования.

В декартовой координатной системе оси это прямые. При этом для каких-то целей можно взять только положительную или только отрицательную часть оси, включая точку начала координат. Для этой части есть понятное каждому название «полуось». И вот он — ключ к решению проблемы.

Полноценное «всегда» так и остаётся «всегда», а его омонимические неполноценные варианты будут называться «полувсегда». С дополнительными расшифровками: «положительное полувсегда» и «отрицательное полувсегда». Или, для краткости, «плюс-полувсегда» и «минус-полувсегда».

Данная терминология позволит пионеру из примера говорить только правду:

— Пионер, будь готов!

— Плюс-полувсегда готов!

Теперь рассмотрим ситуацию, когда кого-то приняли в пионеры год назад, а сейчас хотят убедиться, что он всё ещё годный пионер. Повторение вышеописанного диалога, увы, будет означать, что последний год он злостно нарушал обещание: ведь он снова говорит, что готов будет только с текущего момента времени и дальше.

Конструкцию со «всегда» при этом он употребить не может, поскольку она бы означала, что он был готов ещё до принятия в пионеры, а это — тоже неправда.

Тут мы имеем дело со смещением начала координат, а потому могли бы в скобках указать, либо точные координаты начала, отличные от принятого по умолчанию текущего момента, либо относительное положение момента старта в сравнении с текущим моментом.

Например,

— Пионер, будь готов!

— Плюс-полувсегда(2017) готов!

Или

— Пионер, будь готов!

— Плюс-полувсегда(–1 год) готов!

В такой форме пионер, во-первых, произносит чистую правду, а во-вторых, гораздо более точно информирует окружающих о происходящем. Ложная трактовка его слов теперь уже маловероятна. Налицо значительный прогресс в коммуникации.

Надо отметить, что работа по уточнению разговорного языка только начата, и потому решена лишь самая первая, простейшая задача. Ведь если, скажем, для «никогда» довольно легко ввести аналогичную форму: «полуникогда», — то для других подобных случаев — например, «везде» — понадобится уже более сложный анализ и разработка нетривиальных конструкций: относящихся к трёхмерному пространству, способных выделять конкретную полуось базиса или даже произвольный вектор, пространство с одной стороны плоскости и т.п.

Однако наш НИИ Точного Словообразования плюс-полувсегда(10.07.2018) будет продолжать свою работу, что полунесомненно приведёт к стремительному росту уровня взаимопонимания между людьми.

О, боже мой, а что ещё-то?

Казалось бы, если закрыть глаза на неопределённость приоритетов и ввести «натянутую формулировку», то рекурсия должна работать: ведь даже в обсуждении проблем с приоритетами предполагалось, что она работает. В ней-то где ошибка?

Дело в том, что рекурсивное решение этой задачи основывается на том, что туземцы как бы пытаются вычислить то, что думают другие туземцы, о том, что думают третьи туземцы и так далее.

Однако есть тонкий нюанс, внимание!

Для того чтобы человек понял, какого цвета у него глаза, ему достаточно существования какого угодно способа это понять. Он может даже не рассматривать другие — единственного доказательства достаточно.

Но вот при анализе мыслей другого человека уже недостаточно существования хотя бы одного способа вычисления цвета своих глаз, чтобы гарантировать, что именно так этот человек и будет рассуждать. Нужно, чтобы этот способ был ещё и единственным, или хотя бы все существующие способы приводили к ровно тем же выводам. А в данном случае, вдобавок, ровно за то же количество дней.

Поясню на примере.

1. Туземец А видел вокруг себя одних только кареглазых, но узнал, что на острове есть голубоглазые. Методом исключения он может вычислить, что он — голубоглазый.
2. Туземец А решил проанализировать рассуждения Б и нашёл некий способ рассуждений, при помощи которого Б, скажем, на девятнадцатый день мог бы узнать, что он, Б, — голубоглазый.

В чём тут разница?

Разница в том, что в первом случае А обладает точным знанием о положении вещей.

Во втором же случае он знает лишь один из возможных способов, которым Б мог бы прийти к некоторому выводу. Однако он не знает наверняка, что Б будет идти к этому выводу именно этим способом.

Возможно, Б будет рассуждать как-то иначе и вычислит свой цвет глаз за другое количество дней.

Тогда вся рекурсия посыплется — ведь там всё основано, на привязке количества самоубившихся к порядковому номеру дня. Если же возможна иная привязка, то А будет знать наверняка только какую привязку выбрал он сам, а про выбранную Б привязку будет не точно знать, а лишь предполагать.

Да, мы пока что нашли способ рекурсивного вычисления к двадцатому дню цвета собственных глаз. Но мы ведь не доказали, что нет иных способов — приводящих к такому же ответу на сороковой или, наоборот, на пятый день.

Иными словами, в вышеозвученном рекурсивном решении неявно предполагается, что идеально логичные туземцы неявно предполагают, что каждый из них без какого-либо сговора будет рассуждать одним и тем же способом.

Вдобавок, этот способ ещё и основан на железной уверенности каждого из них, что все остальные тоже рассуждают этим же способом и тоже, в свою очередь, поголовно уверены, что все остальные рассуждают тем же способом.

Но нет, чтобы такое предположение использовать в доказательстве, надо ещё доказать, что все возможные способы рассуждений приводят к одному и тому же выводу, причём в один и тот же день. Только так можно быть железно уверенным в единстве способа рассуждений.

Ну или, в частном случае, достаточно было бы доказать, что существует всего один способ.

Так ли это?

Давайте проверим.

Если голубоглазый туземец всего один, то он сразу же методом исключения поймёт, что он — голубоглазый: ведь известно, что есть голубоглазые, при этом все, кроме него, кареглазые.

Тут существует всего один вариант рассуждений.

Однако давайте взглянем на двух туземцев. Точнее, взглянем на другой возможный вариант их рассуждений.

Туземец А думает:

• Предположим, я, А, — голубоглазый. Как тогда будет рассуждать Б? Например, так.
  • Предположим, я, Б, — кареглазый. Тогда голубоглазый А методом исключения вычислит, что он — голубоглазый, и покончит с собой на следующий день. Если же этого не произойдёт, я пойму, что я тоже голубоглазый и покончу с собой на второй день.
• Если Б покончит с собой на второй день, то я, А, пойму, что я — голубоглазый. И покончу с собой на третий день.

Заметьте, этот вариант тоже приводит А к однозначному установлению цвета своих глаз. Равно как и тот, который рассматривался в решении ранее. Однако в этом варианте А покончит с собой только на третий день, а не на второй.

Условие соблюдено: если А может вычислить свой цвет глаз, то он его вычисляет. Но в постановке задаче ведь не говорится, что он должен вычислить это максимально быстрым способом. Да, он мог бы вычислить это и на второй день тоже — предположив свою кареглазость и убедившись на опыте, что это не так. Однако ничто в условиях не обязывает его поступить именно так.

При этом А не находится в каком-то выделенном положении: Б ведь мог бы рассуждать ровно так же, как и А, и А об этом знает.

И А должен учесть такую возможность в своих рассуждениях:

• Предположим, я, А, — голубоглазый. Как тогда будет рассуждать Б? Например, так.
  • Предположим, я, Б, — голубоглазый. Как бы тогда рассуждал А?
    • Предположим, я, А, — кареглазый. Тогда голубоглазый Б методом исключения вычислит, что он — голубоглазый, и покончит с собой на следующий день. Если же этого не произойдёт, я пойму, что я тоже голубоглазый и покончу с собой на второй день.
  • Если А не покончит с собой на второй день, то я, Б, пойму, что я — голубоглазый. И покончу с собой на третий день.
• Если Б покончит с собой на третий день, то я, А, пойму, что я — голубоглазый и покончу с собой на четвёртый день.

Этот процесс — с включением в цепочку ещё одного предположения о голубоглазости, приписываемого другому в модели его рассуждений, — можно продолжать сколько угодно раз, всё дальше и дальше откладывая день полной ясности.

Однако самое главное тут, что ни А, ни Б, не могут точно знать, какой из бесконечного количества этих вариантов выберет другой. И при этом А точно знает, что Б не может знать точно, какой вариант выберет А, а Б точно знает, что А не может точно знать, какой вариант выберет Б.

Разумеется, аналогично будет и при большем количестве голубоглазых — они никогда не покончат с собой, поскольку никогда не будут
точно знать, какой из вариантов рассуждений выбрали другие островитяне.

В таком виде рекурсия лишь могла бы работать, если бы было точно известно, что все рассуждают абсолютно одинаково, но этого нет в условиях задачи, поэтому она не работает.

Подвох в рекурсии

Где-то между строк рекурсивного метода затерялось неявное приравнивание «знания» и «предположения о ходе рассуждений другого». При наличии же нескольких вариантов рассуждений, дающих тот же вывод о цвете своих глаз, но за разное время, предположение о выбранном варианте остаётся лишь предположением: его нельзя считать точным знанием А о мыслительной модели Б — на том лишь основании, что А известен один из возможных вариантов того, как мог бы рассуждать Б.

Чтобы островитяне знали точно варианты рассуждения друг друга, в постановку задачи следовало бы внести что-то вроде: «все туземцы, если есть такая возможность, обязаны вычислить цвет своих глаз максимально быстро и точно знают, что все остальные туземцы делают так же и точно знают всё это про всех остальных туземцев».

В такой формулировке всё население острова как бы начинает стремиться к массовому самоубийству при первом же к тому поводе.

И вот про неё, такую формулировку, видимо, уже можно доказать, что наискорейший способ выяснения цвета своих глаз всего один.

Две ошибки

Итого, красивое решение красивой задачи содержит минимум две ошибки: неопределённость в приоритетах правил и неверное предположение о том, что вариант рассуждений всего один, а потому его можно считать «точным знанием».

В результате, к условию задачи следует добавить ещё два положения:

• Островитяне не могут сообщать другим цвет их глаз, кроме как путём своего самоубийства.
• Все островитяне, если есть такая возможность, обязаны вычислить цвет своих глаз максимально быстро и точно знают, что все остальные островитяне делают так же и точно знают всё это про всех остальных островитян.

Разумеется, с такими дополнениями ситуация на острове становится совсем какой-то уж заведомо суицидальной, что разрушает всю художественность повествования.

Поэтому имело бы смысл превратить эту формулировку в более правдоподобный и одновременно с тем корректный вариант. Благо, она тоже встречается, причём иногда её тень проскальзывает даже в варианте с островитянами.

Мудрецы в колпаках

Султан как-то раз решил испытать своих мудрецов. Он сказал:

«На каждого из вас наденут синий или красный колпак и запрут каждого в своей комнате.

После этого каждому из вас скажут, на ком какого цвета колпак, но какой на вас не скажут. И посмотреть на него вы тоже не сможете.

К каждому из вас в полдень будет приходить стражник, которому вы можете сказать, какого цвета на вас колпак. Если хоть кто-то ошибётся, то всех вас казнят. Того же, кто угадает цвет своего колпака, отпустят.

Стражник ежедневно будет сообщать каждому из вас, казнили ли уже кого-то или, наоборот, отпустили.

Даю вам десять минут, чтобы попрощаться друг с другом, на тот случай, если кто-то из вас не угадает».

Могут ли мудрецы за эти десять минут придумать план освобождения, исключающий риск массовой их казни?

Вот тут, да, рекурсивный метод правда сработает, поскольку мудрецы могут договориться о едином способе рассуждений.

Впрочем, у них есть и более простой и понятный алгоритм:

• Если никого пока что не отпустили, то каждый должен помнить количество красных колпаков — N, о которых ему сообщили, и в день под номером N сказать, что на нём красный колпак.
• Если же мудрец узнал, что кого-то уже отпустили, он должен сказать, что на нём синий колпак.

Почему это работает? Мудрецы в красных колпаках знают об N красных колпаках, те же, на ком синий, — о N+1 красном колпаке. Соответственно, при таком алгоритме есть гарантия, что мудрецы в синем колпаке заявят о цвете своего колпака позже, чем мудрецы в красном. В день N все мудрецы в красных колпаках будут точно знать, что никто не знал о меньшем количестве красных колпаков, чем каждый из них — иначе об этом бы уже сказали. Мудрецы же в синих колпаках будут точно знать, что на них синий, поскольку все мудрецы в красном уже отпущены.

Мудрецы в колпаках без права на переговоры

Теперь предположим, что султан не дал мудрецам возможности посовещаться, а сразу запустил процесс.

В этом случае ситуация становится гораздо менее надёжной. Однако каждый мудрец знает, что другие мудрецы не желают быть казнёнными и хотели бы выйти как можно быстрее. Поэтому каждый из них мог бы предположить, что все остальные выберут наискорейший вариант безопасного вычисления цвета своего колпака: либо с рекурсивными рассуждениями, как в задаче про островитян, либо в виде «упрощённого алгоритма», как в предыдущем разделе.

Правда, эти алгоритмы предполагают выбор цвета, для которого будет использоваться алгоритм, выделенный цвет же султаном не был заявлен, а договориться мудрецам не дали.

Тут каждому мудрецу можно предположить, что все остальные мудрецы догадаются, что лучше бы выйти побыстрее, поэтому следует выбрать для алгоритма тот цвет, которому соответствует меньше половины известных тебе колпаков, если такое возможно.

То есть, если ты знаешь, что мудрецов — сто, а красных колпаков — двадцать, то быстрее всего можно выйти, если в алгоритм подставить красные колпаки. И все остальные, видимо, об этом догадаются, поскольку они тоже знают либо о двадцати, либо о двадцати одном, либо о девятнадцати красных колпаках.

Проблема наступает тогда, когда синих и красных колпаков примерно половина плюс—минус один.

Тут уже придётся, видимо, искать какую-то иную зацепку, вероятность нахождения которой высока и для других мудрецов тоже. Из очевидных же зацепок тут только то, что султан сказал «красные и синие колпаки» — именно в таком порядке. То есть надо выбрать красный, надеясь, что и остальные тоже ухватятся за эту единственную зацепку.

Однако все эти рассуждения, надо отметить, приводят не к гарантированному вычислению цвета своего колпака и всеобщему выживанию, а лишь к наиболее вероятному — точной уверенности нет, но есть обоснованная надежда, что другие мудрецы пойдут именно этим маршрутом, поскольку у всех них общие цели: выйти на свободу как можно быстрее и как можно сильнее снизить риск массовой казни.

В чём же отличие от ситуации с островитянами?

Мудрецы не хотят умирать и островитяне, видимо, тоже, однако отличие между ними в том, что те условия, которые позволяют мудрецам сохранить жизнь, напротив, приводят к смерти островитян.

Островитяне, если есть такая возможность, должны были бы стараться оттянуть свою смерть на как можно более дальний срок, что приводило бы к закономерной неопределённости относительно рассуждений других.

Мудрецы же, даже если им не дали договориться, всё-таки имеют некоторую определённость: ведь кратчайший путь рассуждений выгоден для всех них.

Кроме того, на мудрецов не наложены никакие табу по поводу раскрытия цвета колпака на другом мудреце — им просто физически отрезана возможность передать эту информацию иначе, нежели путём своего освобождения в какой-то день.

Однако запрета на это нет, что тоже снимает целый ряд неопределённостей, которым была посвящена изрядная часть статьи.

Иными словами, рекурсивный алгоритм в такой постановке задачи становится совершенно верным.

Хотя и не таким шокирующим, а потому не так сильно поражающим.

Автор рисунка — Александра «Renoire» Алексеева

Но как?

Постойте, я же только что расписал это решение во всех деталях, да и на других сайтах описывается оно же. Что тут не так?

Да, относительно этого сложного процесса нас тоже немного гложут сомнения, но тут ведь как с квантовой механикой: «заткнись и считай». Рекурсия сложна для понимания, но работает!

Вы знаете, особое изящество этой задачи мне видится в том, что рекурсия тут действительно работает. Причём на первых итерациях она даже интуитивно понятна, а на более поздних рождает щекочущее нервы чувство чудесной научной мистики, поэтому прямо-таки хочется поверить, что тут всё верно, ты только что понял что-то очень нетривиальное, а те, кто продолжает с ним спорить, просто «не догоняют» всей этой «логической крутизны».

Однако нетривиальность в первую очередь в том, что тут ошибки рассуждений кроются в очень глубоких глубинах. Настолько глубоких, что во всех дискуссиях об этой задаче, которые я встретил, люди, сомневающиеся в правильности решения, находили «ошибки» не там, где они на самом деле есть.

Иными словами, изящество этого «парадокса» в том, как здорово в нём замаскированы несколько очень суровых натяжек — внутри весьма изощрённого и «технологичного» решения.

В общем, вся эта рекурсия работает, только если закрыть глаза на ряд вещей, которые в условиях есть, и сделать ряд предположений, которых нет в условиях.

Спасительное противоречие

Дело в том, что в решении задачи игнорируется одно из её условий: у туземцев есть запрет на то, чтобы сообщать другим о цвете их глаз. Причём из контекста понятно, что имеется в виду не только «говорить», но и сообщать иным способом — рисовать на картинке, неожиданно показывать зеркальце или давать некий ребус, решение которого идеально логичным (это тоже есть в условии) туземцем привело бы к вычислению им собственного цвета глаз.

Так вот, в описанной ситуации туземцы совершенно точно дают друг другу такой ребус — ведь на этом построено всё решение со всей его рекурсией: их действия или бездействия приводят к тому, что в конечном счёте вообще все узнаю́т, какого цвета у них глаза.

Даже при наличии единственного голубоглазого его самоубийство оказалось бы «ребусом», сообщающим всем остальным, что они — кареглазые.

Иными словами, в традициях туземцев есть противоречие и правильный логический ответ, который каждый из них должен был бы сделать в этой ситуации, как идеальный логик: следует отменить эти противоречивые правила ещё до появления путешественника.

Если же эти правила не отменены, то в описанном случае им невозможно следовать, ведь хотя бы одно из них будет нарушено.

Вариант с неопределённостью

Условия задачи не сообщают нам, какие именно приоритеты у туземцев. Вполне возможно, что каждый из них счёл бы, что лучше нарушить одно правило, чем два: не самоубиться, узнав цвет своих глаз, но зато и не сообщить другим о цвете их глаз. Ведь альтернатива тому — нарушить правило о знании цвета своих глаз, выполнить правило о самоубийстве, и тем самым нарушить правило о несообщении.

Если же приоритеты были никак не оговорены, то ни один туземец не может наверняка знать, какой вариант выберет другой туземец, а потому не может однозначно вычислить цвет своих глаз.

Даже единственный голубоглазый на острове мог бы счесть, что важнее не сообщать другим цвет их глаз, чем самоубиться после вычисления своей голубоглазости.

Однако быть может, у туземцев всё-таки есть какие-то уточнения по этому поводу? Например, приоритет правил друг перед другом.

А, кстати, насколько они честны?

Если туземцы могут говорить друг другу неправду, и все знают об этом, то появляется выход из положения: сказать кому-то «ты — голубоглазый, но я, быть может, наврал». Если все сделали бы так, самоубийство зависело бы от того, поверил ли тот, кому это сказали, в сказанное или не поверил. Таким образом, самоубийства не давали бы однозначной информации о ситуации.

Единственного туземца это бы всё равно не спасло — он бы точно вычислил цвет своих глаз методом исключения, но вот в случае с двоими, ни один из них уже не мог бы знать наверняка, самоубился ли другой на первый день потому, что он не видит других голубоглазых или же потому, что поверил в сказанное ему «твои глаза — голубые».

Однако есть правило, что туземцы совершают самоубийство только тогда, когда точно знают цвет своих глаз, а не просто «верят» в него.

Одновременно с тем есть правило не сообщать никому цвет его глаз.

Если возможен обман, то это правило теряет смысл — ведь сообщение цвета ни к чему не приведёт. Даже изображение в зеркале можно подделать, не говоря уже про устные сообщения.

Это подводит к мысли, что туземцы могут сообщать только правду, и все поголовно знают, что все остальные сообщают только правду.

Варианты с честными островитянами

Итак, из условий задачи косвенно следует, что островитяне не только идеально логичны, но ещё и абсолютно честны.

Именно для этого случая мы и будем рассматривать варианты с приоритетами правил. Тут в каждом пункте они перечислены в порядке убывания их приоритета.

1. Не сообщать другим цвет их глаз; самоубиться, если узнал свой; не знать цвет своих глаз.
2. Не сообщать; не знать; самоубиться.
3. Не знать; не сообщать; самоубиться.
4. Самоубиться; не сообщать; не знать.
5. Не знать; самоубиться; не сообщать.
6. Самоубиться; не знать; не сообщать.

Не сообщать другим цвет глаз важнее, чем самоубиться, если узнал

Варианты 1, 2, 3.

В этом случае даже при наличии одного туземца процесс не пойдёт дальше — он не будет самоубиваться, чтобы не нарушить более важное правило о несообщении другим цвета их глаз, из-за чего не будет работать и вышеописанная рекурсия.

Все выживут.

Не знать свой цвет глаз важнее, чем не сообщать о нём другим

Варианты 4, 5, 6.

Поскольку самоубийство следует только после узнавания цвета своих глаз, в данном случае без разницы, в каком порядке эти два правила расставлены по приоритетам друг относительно друга. Следовательно, мы можем рассматривать всё это как единый случай.

В этом случае у единственного голубоглазого большие проблемы: он не может не узнать свой цвет глаз, а самоубиться важнее, чем не сообщать.

Однако если голубоглазых больше одного, то ситуация уже меняется. Ведь если не знать цвет своих глаз важнее, то следует сказать кому-то о цвете его глаз, если это позволит не узнать цвет своих.

Кареглазым об этом сообщать бесполезно — это не изменит положения вещей: ведь все голубоглазые знают всех кареглазых и, таким образом, сразу же поймут, что самоубийство кареглазого совершенно точно обусловлено тем, что им кто-то напрямую сказал о цвете их глаз.

Следовательно, надо об этом сказать голубоглазому.

Даже если такой всего один, то всё равно уже никто не может быть уверен, покончил ли он с собой из-за того, что ему сообщили о цвете глаз, или же потому, что он его вычислил (а, значит, рекурсивный метод — в деле, и все остальные тоже автоматически вычислят свой цвет глаз).

Причём, каждый конкретный островитянин, в принципе, может даже не сообщать об этом самостоятельно — достаточно уже возможности того, что голубоглазому о цвете его глаз сообщил кто-то другой: в этом уже есть достаточная для невозможности вычисления своего цвета глаз всеми остальными неопределённость.

Однако тут есть тонкость: если единственный хотя бы один голубоглазый не самоубился, то, значит, ему не сообщили о цвете его глаз. А раз так, то рекурсивное вычисление всё ещё возможно.

Поэтому в данной ситуации с неизбежностью должен покончить с собой хотя бы один голубоглазый, чтобы рекурсивный процесс застопорился.

Что касается кареглазых, то для них ситуация идеальна — сколько бы ни было голубоглазых, кареглазым точно не сообщат о том, что они — кареглазые, поскольку это никак не поможет избежать вычисления цвета своих глаз, но при этом у них не будет уверенности, потому ли им не сообщили, что они — кареглазые, или потому, что они голубоглазые, которым повезло.

Иными словами, в данном случае, в зависимости от везения, самоубьётся минимум один голубоглазый, но вот все кареглазые и те голубоглазые, которым повезло, выживут.

При наличии человеколюбия у туземцев, вообще говоря, они должны догадаться, что тот, кто видит нескольких голубоглазых, должен при всех сказать одному из них: «ты — голубоглазый», а остальные должны промолчать — это сведёт количество жертв к возможному минимуму — одной.

Важность определённости приоритетов

Как можно видеть по вышеприведённым рассуждениям, от ответа на вопрос о приоритетах зависит исход ситуации.

Если приоритеты не определены, то, в зависимости от личных предпочтений, возможно, что не самоубьётся даже единственный на острове голубоглазый. Или же единственный голубоглазый самоубьётся, но остальные не будут знать, это потому, что он — единственный, или потому, что кто-то счёл более правильным вариантом неизбежного нарушения традиций сообщить единственному голубоглазому, что он — голубоглазый. Если же голубоглазых больше одного, то никто ни в чём не уверен, а потому выживут все.

Если не сообщать другим цвет их глаз важнее, чем самоубиться, если его ты узнал, то выживут все.

Если не знать свой цвет глаз важнее, чем не сообщать его другим, то, в зависимости от везения, самоубьётся от одного до полного количества голубоглазых, но все кареглазые выживут.

Задача имеет разные решения, в зависимости от тех условий, о деталях которых умолчали: как правила по своей важности соотносятся друг с другом.

А что если запрета на раскрытие цвета глаз другого нет?

Предположим, что его действительно нет, просто из человеколюбия островитяне не сообщали о цвете глаз других, пока не появился злосчастный путешественник.

Однако когда он появился, ситуация ведь поменялась: теперь запущен процесс, который приведёт к нарушению запрета на знание собственного цвета глаз. И если раньше — из человеколюбия — о цвете глаз кому-то другому можно было не сообщать, то теперь и человеколюбие, и традиции требуют сообщить об этом хотя бы одному голубоглазому.

Минимум один туземец умрёт, но, возможно, этим дело и кончится. Кареглазые же однозначно выживут.

Изворачиваемся с условиями

В общем-то, понятно, что хотели сказать авторы задачи. Что-то типа: «островитяне не могут сообщать другим цвет их глаз, кроме как вот этими вот своими самоубийствами».

Эта формулировка выглядит крайне натянутой, однако рекурсивное решение приводит к вымиранию всего острова только с ней — такой вот натянутой.

Или не приводит?

Продолжение следует.

Автор рисунка — Александра «Renoire» Алексеева

Некоторые оговорки

Поскольку максимально полное изложение данной задачи сделать довольно трудно, то в этой художественной версии следует заранее отбросить все подвохи, типа…

1. Путешественник солгал
2. Какие-то местные жители могли подумать, что он солгал
3. Путешественник путает названия цветов или вообще их не различает
4. Не все местные жители логичны
5. Кто-то не расслышал его слова
6. Кто-то их неправильно понял
7. И тому подобное

Нет, это — логическая задача, поэтому не надо внутри некоторых возможных недоговорённостей и неточностей искать варианты альтернативных решений.
Мы вместо этого будем рассматривать некий идеальный случай.

Очевидное решение

Вполне понятно, что если бы единственный житель был бы голубоглазым, то он, услышав путешественника, сразу бы понял, что речь о нём — ведь все остальные кареглазые.

Если бы таких было двое, то каждый из них посмотрел бы на второго, увидел бы, что тот — голубоглазый и предположил бы, что тот всё понял и на следующий день покончит с собой. Если же этого не произошло, то, значит, он сам тоже голубоглазый — именно поэтому тот второй не самоубился сразу — он тоже видел одного голубоглазого. В общем, на следующий день оба бы все поняли и убились бы на второй день.

Однако голубоглазых туземцев на острове — двадцать человек. То есть каждый однозначно видит минимум девятнадцать голубоглазых. Поэтому путешественник не сообщил им ничего нового — они были и так в курсе, что на острове до фига голубоглазых.

Поэтому все выжили, всё отлично.

Неочевидное рекурсивное решение

Мы уже знаем, что единственный голубоглазый бы наложил на себя руки на следующий день, а если бы их было двое — они бы ушли в мир иной через двое суток.

Однако что бы было, если бы голубоглазых оказалось трое?

Каждый из них догадался бы, что при наличии двоих голубоглазых, они бы умерли на второй день, а поскольку этого не произошло, то он сам — голубоглазый. Соответственно, все трое самоубились бы на третий день.

Видимо, так же должно было бы произойти и с четверыми: каждый бы думал, что, если он не голубоглазый, то оставшиеся трое должны умереть на третьи сутки. Если же они этого не сделали, то он — голубоглазый. Соответственно, все умрут через четыре дня.

Ровно таким же способом — рекурсивно — вычислялся бы случай для пяти голубоглазых, шести, семи, и так далее — до двадцати. Соответственно, двадцать голубоглазых вычислили бы свой цвет глаз к двадцатому дню и покончили бы с собой.

После этого все оставшиеся поняли бы, что они все — кареглазые, и на двадцать первый день остров бы вымер.

Именно это решение вы найдёте практически в любом источнике, где приводится данная задача. С возможными поправками на цвет глаз и суровость кары за знание своего цвета.

Где тут парадокс?

Парадокс тут вот в чём: вроде бы путешественник не сообщил туземцам ничего такого, чего бы они не знали. Все действительно ещё до встречи с путешественником были в курсе, что на острове полно голубоглазых, с чего вдруг озвучивание этой, всем известной информации привело к поголовному суициду?

Если бы мы имели дело с одним голубоглазым, тут понятно: он не знал, что на острове вообще есть голубоглазые, а теперь вдруг узнал. Но когда голубоглазых видели все, то в чём прикол-то?

Если в результате знания о существовании голубоглазых через n итераций следует вычисление цвета собственных глаз, то каким образом путешественник вообще застал этот остров заселённым? Почему все не поубивались задолго до его приезда?

Разрешение парадокса

Чтобы это объяснить, вводится термин «общее знание» (common knowledge). Действительно, и до того все туземцы знали о наличии голубоглазых, однако они не знали, знают ли об этом все остальные.

Во всяком случае, это предполагается в концепции «общего знания».

Давайте посмотрим, как это работает на примере двоих голубоглазых.

Назовём их для определённости А и Б.

До прощальной речи путешественника А знал, что существует как минимум один голубоглазый. Однако А не знал, какого цвета у него самого глаза. Но ему было совершенно понятно, что, если у него глаза — карие, то Б не знает о существовании голубоглазых. Если же — голубые, то Б знает о существовании голубоглазых.

Поэтому у А не было определённости относительно знаний Б.

У Б всё было аналогично: он тоже не был уверен в знаниях А.

Когда же путешественник сообщил о существовании голубоглазых, то А стал точно знать, что Б знает об их существовании, независимо от того, какие у А глаза. Следовательно, если у А глаза карие, то Б должен вычислить свой цвет глаз и убиться на следующий день. Если же он этого не сделал, то А теперь точно знает, что у него глаза — голубые.

Раскрутка рекурсии

Однако в чём состоит «общее знание» в случае с тремя голубоглазыми — А, Б и В? Ведь А видит минимум двоих голубоглазых, поэтому может быть уверен, что Б и В тоже видят минимум одного голубоглазого (если сам А — кареглазый) или двоих (если А — голубоглазый). Что тут вообще может запустить процесс?

Туземец А может рассуждать так…

• Про себя я не уверен, какого цвета у меня глаза, однако давайте предположим, что я — кареглазый. Тогда Б должен видеть одного голубоглазого — В, и думать…
  • Предположим, что я, Б, — кареглазый. Тогда В должен понять, что голубоглазый — это он и назавтра самоубиться. Если он этого не сделал, то и я тоже — голубоглазый. Мы убьёмся на второй день
• Далее, А видит, что на второй день Б и В не самоубились, поэтому понимает, что его предположение о собственной кареглазости неверно, а потому на третий день надо бы самоубиться ему самому. Вместе, конечно, с Б и В, которые аналогичным способом обо всём догадались.

Здесь можно видеть, что путешественник своей речью запускает процесс уже не напрямую, а как бы «на втором уровне вложенности» — там, где А анализирует уже не ситуацию, а возможные рассуждения Б.

Туземец А точно видел перед собой двоих голубоглазых. Однако он не знал, сколько голубоглазых видит Б — возможно, только одного. «И тогда», — думает А, — «Б уже мог бы себе представить, что В видит вообще ноль голубоглазых».

То есть А понимает, что В точно видит минимум одного голубоглазого, но одновременно с тем понимает, что есть случаи (если сам А окажется кареглазым), в которых Б не будет понимать этого про В: ведь если Б — тоже кареглазый, то В не видит ни одного голубоглазого.

В этом контексте путешественник сообщил А, что теперь Б уверен, что В точно знает, что на острове есть хотя бы один голубоглазый туземец.

А теперь четверо

Дальше рассуждения идут по накатанной. Пусть у нас четверо голубоглазых: А, Б, В и Г.

Тогда А рассуждает так:

• Предположим, я, А, — кареглазый. Как тогда будет рассуждать Б?
  • Я, Б, вижу двоих голубоглазых. Предположим, что у меня карие глаза, как тогда будет рассуждать В?
    • Я, В, вижу одного голубоглазого — Г, и мы с ним оба знаем, что голубоглазые на острове есть. Поэтому либо он того-с сегодня, либо мы оба — завтра
  • Если же В с Г не самоубились на второй день, то я, Б, — голубоглазый. Самоубьёмся же на третий день
• Если же Б, В и Г не самоубились на третий день, то и я, А, — голубоглазый. Мы все вместе должны самоубиться на четвёртый.

Казалось бы, но ведь все четверо видят минимум троих голубоглазых? Чтобы же хоть кто-то самоубился, он должен видеть максимум одного — ведь только так он мог бы…

• …либо сразу же понять, что он — голубоглазый (если он вообще не видит других голубоглазых),
• …либо сразу же понять, что вон тот, которого он видит, сразу бы осознал свою голубоглазость, если бы тоже не наблюдал ещё одного голубоглазого.

Однако тут ведь такая ситуация невозможна: каждый из этих четверых точно знает, что остальные трое видят минимум двоих. Как же это работает?

Ну вот, смотрите.

• Я, А, вижу троих голубоглазых, но если я сам — кареглазый, то что видит и думает Б?
  • Я, Б, вижу двоих голубоглазых, но если я сам — кареглазый, что тогда видит и думает В?
    • Я, В, вижу одного голубоглазого, но предположим, что я — кареглазый, тогда Г должен видеть ноль кареглазых.

Иными словами, ситуация, в которой кто-то видит одного или даже ноль голубоглазых, существует не напрямую, а только в рассуждениях А о рассуждениях Б о рассуждениях В.

Где-то там, в глубине этих рассуждений путешественник как раз и превращает неопределённость в определённость.

И так далее

Поскольку данные рассуждения однотипны, мы их можем повторить с любым количеством голубоглазых. И таким образом мы приходим к мысли, что все N проживающих на острове голубоглазых с неизбежностью покончат с собой через N дней, а в день N+1 самоубьются все остальные.

Очень, очень красивое рекурсивное рассуждение. Выглядящее чудовищно парадоксальным и одновременно с тем сложным для понимания.

Поэтому многих людей действительно распирает гордость, когда они, наконец, распутывают всю эту рекурсивную логику и — даже если в их душе всё ещё остаются некоторые сомнения в верности этого решения, — спешат поделиться этим неземным наслаждением с другими.

Хотя бы для того, чтобы посмотреть, как другие будут мучиться, чтобы осознать всю изощрённость данного процесса и неумолимость вымирания туземцев после неосторожных высказываний путешественника.

В общем, это — прекрасное решение прекрасной задачи.

Жаль, что оно неверное.

Продолжение следует.

Автор рисунка — Александра «Renoire» Алексеева

Иными словами, логика не гарантирует вам ответ на любой вопрос, независимо от системы аксиом. «Стоит четырёхэтажный дом, в каждом этаже по восемь окон, на крыше — два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка?» На этот вопрос логический ответ: «Из предоставленных данных ответ не выводим». Это, подчеркну, тоже ответ. Логический. Закономерный. Прописанный в правилах логики, даже если кто-то их плохо понимает или не знает вообще.

Парадоксы с критскими лжецами и им подобные разрешаются через закон логики, согласно которому система первичных высказываний не должна содержать противоречий. В этих парадоксах противоречия есть, что доказывается простым рассуждением, поэтому правильный логический ответ: «система содержит противоречивые аксиомы, а потому некорректна». Из такой системы при помощи несложных логических операций можно вывести «доказательство» любого произвольного утверждения, а потому такие наборы аксиом просто нет смысла рассматривать: их следствиями является полное множество вообще всех утверждений, а потому они не несут никакой информации.

Парадокс с брадобреем, который бреет тех, кто не бреется сам, разрешается, например, выводом: «такой брадобрей не может существовать». Прямо по вышеописанному способу: есть запрет на наличие противоречий в системе базовых утверждений, а тут противоречие показывается парой операций.

Парадоксальную фразу «это утверждение — ложно» и ей подобные тоже можно разрешить вышеуказанным запретом на противоречивые системы базовых утверждений. Но, кроме того, и запретом на бесконечную рекурсию — в дополнение к требованию о непротиворечивости утверждений: если система высказываний при попытке проанализировать некое утверждение на истинность в её рамках приводит к бесконечной рекурсии, то данное утверждение просто не определено относительно данной системы утверждений.

Впрочем, есть и более извёрнутый способ разрешения, связанный со смыслом понятия «высказывание». В частности, высказывания о высказываниях — это не то же самого типа высказывания, что просто высказывания. Здесь в одной системе (и даже в одном утверждении) смешаны сразу два их типа, что в общем случае не гарантирует разрешимости и подводит либо к запрету на противоречия, либо к запрету на бесконечную рекурсию, но уже в ином смысле: здесь слово «утверждение» означает одновременно и логическое утверждение, и ссылку на саму фразу. Что не одно и то же. На каждом витке рассуждений мы будем наращивать «степень» этого отношения: утверждение об утверждении об утверждении, утверждение об утверждении об утверждении об утверждении и т. д. Каждый раз ошибочно считая, что, будто бы, термин «утверждение» имеет один и тот же смысл — раз уж он называется одним и тем же словом.

Впрочем, парадоксы, основанные на системе утверждений, некоторые из которых содержат утверждения о других утверждениях, тоже приводят к якобы «парадоксу». Как бы следует, что некоторое утверждение (обычно — как раз «утверждение об утверждении») одновременно истинно и ложно. Но нет, «парадокс» тут возникает исключительно потому, что мы пытаемся вывести истинность или ложность некоторой системы утверждений, основываясь на них же самих.

Такое просто невозможно сделать: можно лишь сказать, что утверждения содержат противоречие, поэтому не могут быть верны одновременно, а, следовательно, система аксиом противоречива.

Но иные утверждения об истинности сделать невозможно, ведь логика — это не про проверку истинности утверждений. Это про проверку истинности или ложности утверждений, относительно других утверждений.

Ну, или о неопределённости статуса их взаимоотношений, как в случае с «бабушкой швейцара».

Об этом же принципе, кстати, говорит и любимые многими теоремы Гёделя: они тоже доказываются именно что построением утверждения о системе утверждений. То есть это — попытка «доказать» истинность системы аксиом при помощи них же самих. Именно в этом смысле «неполна» непротиворечивая система аксиом: нельзя построить такую систему, которая докажет истинность её же самой. А вовсе не (как некоторые думают) что «в любой системе аксиом есть какие-то положения, утверждений о ней самой не касающиеся, но при этом ложные и истинные в её рамках одновременно». Так, разумеется, тоже может оказаться, но этого ни Гёдель, ни кто-либо другой никогда не доказывал.

При помощи обращения внимания на то, что именно утверждается, логически разрешаются парадоксы вида: «Вася сказал то, а Петя — это». Да, действительно, высказывания Васи и Пети могут противоречить друг другу, но в данном случае система утверждений состоит из утверждений о том, что именно сказали Вася и Петя, а вовсе не о том, что ими сказанное одновременно верно́. Если оно верно́, то это — система с противоречиями. Вопрос закрыт. Если же речь именно про то, что Вася вот так сказал, а Петя — вот эдак, то вариантов разрешения целая куча. Например, «Вася ошибся». Или «Петя врёт».

В описании «парадоксов» это пытаются замаскировать и в процессе рассуждений меняют смысл этих утверждений, нарушая первый закон логики: то делается акцент на том, что «Вася сказал, что А — истинно», то на том, что «А — истинно». Будто бы это — одно и то же. Но нет, при аккуратном анализе вся парадоксальность исчезает.

В общем, я пока что не встречал ни одного действительно «логического парадокса». Все они разрешаются обычной формальной логикой по закономерным правилам.

И мне, вот, интересно. А есть ли у вас такого рода примеры, которые ставят вас в тупик?

Во время Второй мировой войны американские бомбардировщики часто не возвращались с боевых вылетов. Тяжелые и неповоротливые, они становились легкой добычей для немецких зениток и истребителей. А потому выживание экипажа в то время зависело исключительно от его везения.

Упаковать весь самолет в тяжелую броню, естественно, было нельзя. Но чтобы повысить шансы летчиков на спасение, командование решило укрепить хотя бы самые уязвимые части бомбардировщика. Для этого военные тщательно проанализировали повреждения, которые получали вернувшиеся с вылетов самолеты.

Выяснилось, что чаще всего пулями были пробиты крылья, хвостовая часть и нижняя часть корпуса:

Недолго думая, военные собрались упрятать в броню именно эти места. Неизвестно, чем бы обернулось это решение для американской армии, но, к счастью, в исследовании принимал участие математик Абрахам Вальд.

Ученый тут же объяснил командованию, какую роковую ошибку оно едва не совершило. Дело в том, что повреждения, на которые обратили внимание военные, для самолетов были неопасными, иначе бы они не вернулись с вылета.

А вот те части самолета, где не нашли пробоин (топливный бак или двигатель) как раз и были самыми уязвимыми. Бомбардировщик, получивший повреждения в этих местах, падал и уже не влиял на статистику. Именно эти части самолета и нужно было укреплять в первую очередь.

Что произошло? Американские военные едва не стали жертвой весьма распространенного когнитивного искажения, которое сейчас называется «систематическая ошибка выживших».

Бесполезный опыт победителей

Ошибка выживших проникает во все сферы человеческой жизни, сбивая с толку даже далеко не глупых людей. Классический пример – весьма популярный миф о «Золотом веке».

Вот типичные рассуждения:

Наши предки были здоровыми. Сегодня у нас куча врачей, лекарств и медицинской аппаратуры, а больных почему-то все больше. Нам всем надо учиться у наших прадедов!

На самом деле в старину больные просто умирали. Например, сахарный диабет I типа научились лечить только в 1922 году, после открытия инсулина. Сегодня, благодаря достижениям медицины, даже неизлечимо больные могут дожить до глубокой старости.

Кстати, до массового распространения антибиотиков в 40-50-е годы XX века ожидаемая продолжительность жизни в мире составляла всего 46-47 лет. В наши дни она достигла 66.

К подобным легендам можно отнести истории о пьющих и курящих долгожителях. Мол, мой дедушка всю жизнь курил махорку и дожил до 80 лет. Но чаще всего в таких случаях вспоминают француженку Жанну Кальман, которой на момент смерти было 122 года:

Вред курения уже давно доказан. Но почему-то эта чудом «выжившая» старушка с сигаретой и коньячком убеждает людей сильнее, чем миллионы скончавшихся от рака легких и цирроза печени.

А вот еще:

Посмотрите, как раньше строили! Не было ни сопромата, ни современных материалов, а дома сотни лет стоят! Умели же!

В действительности большинство старинных построек давно уже рухнуло: мы видим лишь самые прочные из них. К тому же все эти памятники архитектуры в наши дни регулярно реставрируют.

Другая область, где распространена ошибка выживших – это бизнес. Предположим, что некто обзавелся деньгами и решил открыть свое дело. Он смотрит по сторонам и находит несколько процветающих продовольственных магазинчиков. Прикинув их дневную выручку, новоявленный бизнесмен восклицает:

— Вау! Какое выгодное, однако, занятие! Вот куда нужно вложить деньги!

Ему невдомек, что перед ним лишь те магазины, которым посчастливилось уцелеть в рыночной «мясорубке». По статистике половина предприятий разоряется уже в первый год.

Ошибкой выживших охотно пользуются маркетологи. Например, какой-нибудь гуру от диетологии продвигает в интернете свою систему снижения веса. И вскоре в сети массово начинают появляться фотографии из серии «до и после»:

Значит ли это, что система действительно эффективна? Нет, не значит. Мы легко можем узнать о положительных результатах, но никто не будет хвастаться тем, что у него ничего не получилось.

Увы, нередко мы видим и слышим только победителей. Проигравшие же ничего нам не расскажут, ибо они канули в неизвестность.

О чем на самом деле говорит успех

Понятно, что своим опытом с нами будут делиться только «выжившие». И очень часто их советы – это «что нужно делать, если ты попал благоприятные условия». Вот несколько примеров:

Сегодня мир восхищается Стивом Джобсом. О нем снимают фильмы, а интернет забит ванильными цитатами из его речей. Но тысячи точно таких же Джобсов разорились и стали наемными сотрудниками в крупных корпорациях. Вполне возможно, что их негативный опыт был бы для современных стартаперов более полезным.

Олег Тиньков издал книгу «Как стать бизнесменов». Однако десятки тысяч российских предпринимателей навечно остались там, в лихих 90-х. Никаких книг они, естественно, уже не напишут.

Великий и ужасный Стивен Кинг выпустил «Мемуары о ремесле». В них он рассказывает, как вырвался из нищеты и превратился в самого высокооплачиваемого писателя современности. Но есть и другие писатели, о жизненном опыте которых мы вряд ли узнаем. Ведь они до сих пор работают школьными учителями и еле сводят концы с концами.

Этот список можно продолжать до бесконечности. В нем есть и звезды Голливуда, и рок-музыканты, и выдающиеся спортсмены. За каждым «добившимся» стоят тысячи «недобившихся», которые разбили свои лбы об иллюзию близкого успеха.

Это не значит, что советы победителей бесполезны. Нет, чужой опыт – это всегда отличный источник знаний. Но прежде чем «выходить из зоны комфорта» и «следовать за своей мечтой», нужно спросить себя: о чем я не знаю? Кто навсегда остался за кадром всех этих выдающихся достижений?

И перед тем, как отправиться покорять очередную вершину, нам стоит сперва найти тех, кто уже пытался на нее забраться и потерпел поражение. Только они могут рассказать, какие ловушки нас будут поджидать на этом пути.

Мы по-настоящему растем лишь тогда, когда набиваем шишки об эту реальность. Но учиться все-таки лучше на чужих ошибках, а не на своих.

В древние времена была спец-игра на эту тему — «The Incredible Machine». Вышло что-то там в районе стапицот частей, поскольку DLC тогда делать ещё не умели.

Графика была не шибко красивой, но тогда везде было так. Физика — тоже средненькая, но для тех времён тоже смотрелась относительно правдоподобно.

В следующих частях графику допиливали. И физику тоже. И добавляли новые элементы. Что, конечно, сильно подогревало игровой интерес.

Игра, кстати, если кто ещё не понял, про выстраивание цепочки (или, точнее, даже дерева) взаимодействий между элементами, которые друг друга запускают или как-то ещё влияют друг на друга. Ну, например, шарик падает на кнопку и запускает конвейер, который подвозит свечку к фитилю пушки, пушка стреляет, ядро попадает в ножницы, ножницы перерезают нитку, которой привязан воздушный шар, шар взлетает и двигает какой-то рычаг… Можно всё это делать самому с нуля, но есть и готовые машины, из которых убраны отдельные элементы, которые предлагается расставить игроку.

Ну да ладно. На рубеже веков игра скончалась, поскольку, ну совсем уж устарел движок — как его ни допиливай.

Но почти тут же появилась новая игра на ту же тему — «Crazy Machines». Что интересно, она тоже была совершенно плоская, однако нарисовали всё получше — в псевдо-3d, физику сделали существенно более вменяемой, да и в целом, в полном соответствии с названием, от неё веяло каким-то крайне весёлым ментальным расстройством.

Решать задачи было весело и выглядело всё очень смешно — ну, когда в процессе действия машины всё начинало взрываться, сталкиваться и т.п.

Потом тоже последовали версии с новыми задачами и элементами, некоторые из которых отдавали ментальным расстройством ещё сильнее, поскольку в них, например, почти все задачи в комплекте строились на нецелевом использовании элементов.

С другой стороны, некоторые задачи некоторых частей, напротив, сосредотачивались на демонстрации определённых физических законов. Например, как сейчас помню, одна задача решалась построением циклоиды из связанных между собой верёвками досок — только по этой траектории шарик скатывался достаточно быстро. И это весьма отрадно, что не только простейшие закономерности — такие, как эффект рычага, — но и более сложные люди имели возможность изучать на экспериментах, методом проб и ошибок. Пусть даже в компьютерной игре.

Затем вышла «Crazy Machines 2». Там уже было совсем 3d (хотя сами задачи оставались плоскими) и физика на основе PhysX — то бишь, библиотеки, задействующей физический движок видеокарт.

Лично у меня она до сих пор вызывает смешанные чувства. Перемещения элементов, которые стали трёхмерные и физичные, выглядели, конечно, гораздо более впечатляюще. И игровой интерес в целом увеличился, однако был ряд весьма неприятных нюансов.

Управление стало каким-то очень неотзывчивым: чтобы заселектить элемент, приходилось в него тыкать по многу раз. Причём, неясно зачем некоторые элементы подробили на составные части (игрового интереса это не добавляло, поскольку, ведь всё равно составные части подходили только друг к другу), поэтому при попытках заселектить что-то, постоянно селектилось не то.

Некоторые действия с элементами почему-то выполнялись только с клавиатуры, что тоже сильно мешало. Нет, конечно, если у мыши много кнопок, можно какие-то из них привязать к кнопкам клавиатуры для данного процесса, но ведь не у всех есть такое. Да и дополнительные телодвижения всё-таки. Это ж не авиасимулятор с сотней горячих клавиш, а головоломка.

Кроме того, задачи стали занимать несколько экранов, что, в совокупности с хреновым управлением, доставляло изрядные неудобства. При этом почему-то отсутствовало аппаратное сглаживание (что само по себе странно — игра, напомню, работала при помощи видеокарты с физическим ускорителем, а это подразумевает и наличие видео-ускорителя), из-за этого при попытке отъехать назад и посмотреть издалека, всё адски пикселизировалось и становилось почти невозможно разобрать, где там что.

Вдобавок очень бесил профессор своими повторяющимися типа «юмористическими» комментариями. Но отключить их было нельзя, поскольку при этом становилось невозможно понять задачи, которые, конечно, писались и текстом тоже, но появляющиеся стрелочки, разъясняющие, что надо сделать, были синхронизированы с голосом.

Однако всё это компенсировалось зрелищной физикой: взрывы не только раскидывали элементы, но могли их красиво разрушать — стена реально рассыпалась на отдельные камни, бочки раскалывались (кстати, и при падении с большой высоты тоже) на отдельные доски, сами доски могли сломаться.

Потом ещё в каком-то из дополнений добавили воду, которая реально текла, оказывала давление на другие объекты, выталкивала силой Архимеда, замыкала контакты и всё такое.

В общем, однозначно превосходила предшественников во всём, кроме дебильного интерфейса, который почему-то так и не починили.

Потом ещё была «Crazy Machines: Elements» — с более разборчивой графикой и нормальным управлением, но содержащая довольно мало этих самых элементов, несмотря на своё название. Правда, в игре появился огонь, но при этом пропала вода. Вдобавок, головоломки стали, скажем так, более примитивными и в них появилось собирание каких-то гаек, словно в аркаде для игровой приставки.

Нельзя сказать, что эта игра была плохой — в целом, сравнимой с «Crazy Machines 2»: в чём-то лучше, а в чём-то хуже. Но всё равно она прошла практически незамеченной.

А жаль — достойный представитель жанра.

Собственно, на этом месте я перестал отслеживать игры этой серии, поскольку даже в «Crazy Machines 2» со всеми её DLC (для неё они уже были и в изрядном количестве) даже половину задач ещё не успел решить.

И, разумеется, когда мне снова захотелось поиграть во что-то такое, я вспомнил именно о ней.

Но, как вдумчивый IT-специалист, сначала полез смотреть, что поменялось с тех пор.

И обнаружил прекрасное.

Да, оказалось, с тех пор успела выйти ещё «Crazy Machines: Golden Gears» по виду и сложности напоминающая «Elements».

Но я её даже не посмотрел. Поскольку, как ещё более оказалось, некие мастера с большой буквы «М» изготовили «Crazy Machines 3». И эта игра вообще близка к идеалу.

Точнее, единственное, что в ней хуже, чем в «Crazy Machines 2» и «Elements», — отсутствие воды и огня. Да и то, возможно, временное, поскольку разработчики разработку-то продолжают.

Однако всё остальное — сплошные плюсы.

И ещё какие.

Во-первых, игра стала совершенно трёхмерной. То есть в ней появилась возможность создавать машины, работающие в трёх измерениях (хотя и в двух всё ещё можно). И это в целом положительно сказалось на атмосфере, поскольку стало возможно даже для двумерных машин самостоятельно создавать трёхмерные декорации.

Во-вторых, графика стала совсем красивой и разборчивой.

В-третьих, интерфейс остался удобным — как в «Elements» или даже лучше.

Но даже это всё меркнет по сравнению с внедрением в игру Стимовского Воркшопа. То есть можно не только создавать машины и превращать их в задачи, но это всё ещё можно в один клик выкладывать для других пользователей. Которые одним кликом это могут скачать. Что, разумеется, делает количество головоломок потенциально бесконечным.

Стало возможно масштабировать объекты, что, как оказалось, даёт очень большие возможности. Например, можно увеличить в размерах ведро, чтобы засыпать в него много шариков (или, наоборот, уменьшить шарики — для той же цели), и сделать таким образом тонко регулируемый механизм с противовесом, открывающим какой-нибудь люк, когда шариков в ведре накопилось достаточное количество.

Или, скажем, сделать две рельсы на заданном расстоянии, между которыми маленькие шарики проваливаются, а большие прокатываются по ним дальше.

Но и это ещё не всё. Стало возможно собирать свои элементы из уже существующих в специальном редакторе внутри игры. Для частей элементов можно задавать характеристики сочленений, чтобы, например, сделать отламывающиеся части. Или, наоборот, части, которые может к этому элементу прикрепить игрок, решающий задачу.

Причём можно в каком-нибудь софте для трёхмерной графики нарисовать модель чего угодно и вставить её в игру. И через Воркшоп раздать другим желающим её использовать.

Это органично дополняется внутренним языком (довольно примитивным, впрочем — уровня языка для создания конечных автоматов), позволяющим задать логику поведения элементов, их сочетаний и всей машины в целом. Можно даже привязать логику поведения элементов к кнопкам на клавиатуре и сделать их интерактивными.

Это привело к тому, что внутри игры люди создают, например, трассы для покатушек на машинках. А также ремейки классических компьютерных игр, типа «Пакмана» или «Пинг-Понга», например.

Не то, чтобы в этом был особый смысл, но возможности данной игры оно отлично раскрывает.

Да, конечно, посмотрев на всё это великолепие, ловишь себя на мысли, что хочется ещё больше таблеток от жадности: вышеупомянутую воду, огонь.

Напалм и кислоту.

Газы — почему нет? Интересно было бы создавать реально действующие воздушные шары, а потом поджигать и взрывать их. Или создать внутри игры модель орга́на.

Разрушение объектов на кусочки (сейчас, впрочем, можно собрать из кусочков разваливающиеся стены, да и разваливающиеся элементы тоже можно сделать).

Арматуру с настраиваемой кривизной и толщиной. И, кстати, настройку массы объектов тоже (это, правда, сейчас частично реализуется при помощи смены материала, из которого сделан объект).

В общем, от уже весьма полноценного конструктора машин хочется ещё больше конструктора. Но ведь, если вдуматься, уже и так существенно круче, чем было раньше.

Лично я получил огромное удовольствие.

Однако всё равно продолжаю надеяться, что в будущем к игре добавят ещё больше всякого разного.